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图的应用——最短路径

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若尘
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发布于: 2021 年 07 月 07 日
图的应用——最短路径

最短路径

  • 典型用途:交通问题。如:城市 A 到城市 B 有多条线路,但每条线路的交通费(或所需时间)不同,那么,如何选择一条线路,使总费用(或总时间)最少?

  • 问题抽象:在带权有向图中 A 点(源点)到达 B 点(终点)的多条路径中,寻找一条各边权值之和最小的路径,即最短路径。


最短路径与最小生成树不同,路径上不一定包含 n 个顶点

两种常见最短路径问题


Dijkstra(迪杰斯特拉)算法 —— 单源最短路径

算法思想

把图中顶点集合分成两组:第一组为已求出其最短路径的顶点集合 S 第二组为尚未确定最短路径的顶点集合 U


  1. 初始时,S 只包含源点,S={v},U 包含除 v 外的其他顶点;

  2. 从 U 中选取一个距离最小的顶点 k,把 k 加入到 S 中;

  3. 以 k 作为新考虑的中间点,修改 U 中各顶点的距离;

  4. 重复步骤 2、3 直到所有顶点都包含在 S 中

算法实现

算法流程图



C++代码实现


void ShortestPath_DIJ(AMGraph G, int v0){  // 用Dijkstra算法求有向网G的v0顶点到其余顶点的最短路径   n = G.vexnum;  // G 中顶点个数  for(v = 0; v < n; v++){    // n 个顶点依次初始化    S[v] = false;  // S 初始为空集    D[v] = G.arcs[v0][v];  // 将v0到各个终点的最短路径长度初始化      if(D[v] < MaxInt) Path[v] = v0;  // v0和v之间有弧,将v的前驱置为v0    else Path[v] = -1;  // 如果v0和v之间无弧,则将v的前驱置为-1  }  S[v0] = true;  // 将v0加入S  D[v0] = 0;  // 源点到源点的距离为0
/*―开始主循环,每次求得v0到某个顶点v的最短路径,将v加到S集―*/ for(i = 1; i < n; i++){ // 对其余n-1个顶点,依次进行计算 min = MaxInt; for(w = 0; w < n; w++) if(!S[w] && (D[w] < min)){ v = w; min = D[w]; // 选择一条当前的最短路径,终点为v } S[v] = true; // 将v加入S for(w = 0; w < n; w++) // 更新从v0出发到集合V−S上所有顶点的最短路径长度 if(!S[w] && ((D[v] + G.arcs[v][w]) < D[w])){ D[w] = D[v] + G.arcs[v][w]; // 更新D[w] Path[w] = v; // 更新w的前驱为v } }}
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Floyd(弗洛伊德)算法 —— 所有顶点间的最短路径

每一对顶点之间的最短路径方法一:每次以一个顶点为源点,重复执行 Dijkstra 算法 n 次—— T(n)=O(n³)方法二:弗洛伊德(Floyd)算法算法思想:逐个顶点试探法

算法思想

  • 初始时设置一个 n 阶方阵,令其对角线元素为 0,若存在弧<Vi,Vj>,则对应元素为权值;否则为∞

  • 逐步试着在原直接路径中增加中间顶点,若加入中间点后路径变短,则修改之;否则,维持原值。

  • 所有顶点试探完毕,算法结结束


算法实现

typedef int Pathmatirx[MAXVEX][MAXVEX]typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX]
/*- Floyd算法,求网图G中各顶点v到其余顶点w最短路径P[v][w]及带权长度D[v][w] -*/void ShrotestPath_Floyd(MGraph G, Pathmatirx* P, ShortPathTable* D){ int v, w, k; for(v = 0; v < G.numVertexes; ++v){ // 初始化D与P for(w = 0; w < G.numVertexes; ++w){ (*D)[v][w] = G.matirx[v][w]; // D[v][w]值即为对应点间的权值 (*P)[v][w] = w; // 初始化P
} }
for(k = 0; k < G.numVertexes; ++k) for(v = 0; v < G.numVertexes; ++v) for(w = 0; w < G.numVertexes; ++w) if((*D)[v][w] > (*D)[v][k] + (*D)[k][w]){ // 如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短 // 将当前两点间权值设为更小的一个 (*D)[v][w] = (*D)[v][k] + (*D)[k][w]; (*P)[v][w] = (*P)[v][k]; // 路径设置为经过下标为k的顶点 }}
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发布于: 2021 年 07 月 07 日阅读数: 14
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若尘

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还未添加个人签名 2021.01.11 加入

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评论 (3 条评论)

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LV15706419603
2 小时前
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老师您好,我是图书策划编辑,想要邀请您写书,不知道您有没有这个意向呢
21 小时前
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目前没有,可以留个联系方式
16 小时前
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