【刷题记录】5. 最长回文子串

一、题目描述

来源：力扣（LeetCode）

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。

示例 1：

输入：s = "babad"输出："bab"解释："aba" 同样是符合题意的答案。

示例 2：

输入：s = "cbbd"输出："bb" 提示：

• 1 <= s.length <= 1000

• s 仅由数字和英文字母组成

二、思路分析

• 回文子串以中心向两边来看是对称，以这种思想，所以我们可以直接遍历 s 中的每个字符，并将其当成回文子串的中心，并尽可能的让两边扩展，直到不满足。

• 此时的长度就是回文子串的的长度，找出最大的，即是最后的结果。

三、代码实现

class Solution {    public String longestPalindrome(String s) {        int start = 0;        int end = 0;        for (int i = 0; i < s.length(); i++) {            int len1 = expandAroundCenter(s, i, i);            int len2 = expandAroundCenter(s, i, i + 1);            int len = Math.max(len1, len2);            if (len > end - start) {                start = i - (len - 1) / 2;                end = i + len / 2;            }        }        return s.substring(start, end + 1);    }
    private int expandAroundCenter(String s, int left, int right) {        while (left >= 0 && right < s.length() && s.charAt(left) == s.charAt(right)) {            left--;            right++;        }        return right - left - 1;    }}

运行结果

复杂度分析

时间复杂度：$O(n^2)$，其中 n 是字符串的长度。空间复杂度：$O(1)$。

四、更优解法

参考题解，还有一个更优的解法，叫 Manacher 算法

有兴趣的可以看下这位 作者：windliang 写的题解

马拉车算法 Manacher‘s Algorithm 是用来查找一个字符串的最长回文子串的线性方法，由一个叫 Manacher 的人在 1975 年发明的，这个方法的最大贡献是在于将时间复杂度提升到了线性。

首先我们解决下奇数和偶数的问题，在每个字符间插入 "#"，并且为了使得扩展的过程中，到边界后自动结束，在两端分别插入 "^" 和 "$"，两个不可能在字符串中出现的字符，这样中心扩展的时候，判断两端字符是否相等的时候，如果到了边界就一定会不相等，从而出了循环。经过处理，字符串的长度永远都是奇数了。

首先我们用一个数组 P 保存从中心扩展的最大个数，而它刚好也是去掉 "#" 的原字符串的总长度。例如下图中下标是 6 的地方，可以看到 P[ 6 ] 等于 5，所以它是从左边扩展 5 个字符，相应的右边也是扩展 5 个字符，也就是 "#c#b#c#b#c#"。而去掉 # 恢复到原来的字符串，变成 "cbcbc"，它的长度刚好也就是 5。

求原字符串下标用 P 的下标 i 减去 P [ i ]，再除以 2，就是原字符串的开头下标了。

例如我们找到 P[ i ] 的最大值为 5，也就是回文串的最大长度是 5，对应的下标是 6，所以原字符串的开头下标是（6 - 5 ）/ 2 = 0。所以我们只需要返回原字符串的第 0 到 第（5 - 1）位就可以了。

求每个 P [ i ]接下来是算法的关键了，它充分利用了回文串的对称性。

我们用 C 表示回文串的中心，用 R 表示回文串的右边半径。所以 R = C + P[ i ]。C 和 R 所对应的回文串是当前循环中 R 最靠右的回文串。

让我们考虑求 P [ i ] 的时候，如下图。

用 i_mirror 表示当前需要求的第 i 个字符关于 C 对应的下标。

我们现在要求 P [ i ]，如果是用中心扩展法，那就向两边扩展比对就行了。但是我们其实可以利用回文串 C 的对称性。i 关于 C 的对称点是 i_mirror，P [ i_mirror ] = 3，所以 P [ i ] 也等于 3。

但是有三种情况将会造成直接赋值为 P [ i_mirror ] 是不正确的，下边一一讨论。

1. 超出了 R

当我们要求 P [ i ] 的时候，P [ mirror ] = 7，而此时 P [ i ] 并不等于 7，为什么呢，因为我们从 i 开始往后数 7 个，等于 22，已经超过了最右的 R，此时不能利用对称性了，但我们一定可以扩展到 R 的，所以 P [ i ] 至少等于 R - i = 20 - 15 = 5，会不会更大呢，我们只需要比较 T [ R+1 ] 和 T [ R+1 ]关于 i 的对称点就行了，就像中心扩展法一样一个个扩展。

2. P [ i_mirror ] 遇到了原字符串的左边界

此时 P [ i_mirror ] = 1，但是 P [ i ] 赋值成 1 是不正确的，出现这种情况的原因是 P [ i_mirror ] 在扩展的时候首先是 "#" == "#"，之后遇到了 "^" 和另一个字符比较，也就是到了边界，才终止循环的。而 P [ i ] 并没有遇到边界，所以我们可以继续通过中心扩展法一步一步向两边扩展就行了。

3. i 等于了 R 此时我们先把 P [ i ] 赋值为 0，然后通过中心扩展法一步一步扩展就行了。

考虑 C 和 R 的更新就这样一步一步的求出每个 P [ i ]，当求出的 P [ i ] 的右边界大于当前的 R 时，我们就需要更新 C 和 R 为当前的回文串了。因为我们必须保证 i 在 R 里面，所以一旦有更右边的 R 就要更新 R。

此时的 P [ i ] 求出来将会是 3，P [ i ] 对应的右边界将是 10 + 3 = 13，所以大于当前的 R，我们需要把 C 更新成 i 的值，也就是 10，R 更新成 13。继续下边的循环。

代码

public String preProcess(String s) {    int n = s.length();    if (n == 0) {        return "^$";    }    String ret = "^";    for (int i = 0; i < n; i++)        ret += "#" + s.charAt(i);    ret += "#$";    return ret;}
// 马拉车算法public String longestPalindrome2(String s) {    String T = preProcess(s);    int n = T.length();    int[] P = new int[n];    int C = 0, R = 0;    for (int i = 1; i < n - 1; i++) {        int i_mirror = 2 * C - i;        if (R > i) {            P[i] = Math.min(R - i, P[i_mirror]);// 防止超出 R        } else {            P[i] = 0;// 等于 R 的情况        }
        // 碰到之前讲的三种情况时候，需要利用中心扩展法        while (T.charAt(i + 1 + P[i]) == T.charAt(i - 1 - P[i])) {            P[i]++;        }
        // 判断是否需要更新 R        if (i + P[i] > R) {            C = i;            R = i + P[i];        }
    }
    // 找出 P 的最大值    int maxLen = 0;    int centerIndex = 0;    for (int i = 1; i < n - 1; i++) {        if (P[i] > maxLen) {            maxLen = P[i];            centerIndex = i;        }    }    int start = (centerIndex - maxLen) / 2; //最开始讲的求原字符串下标    return s.substring(start, start + maxLen);}

总结

我们一般最先想到的是想对比较朴素一些的解法

对于 Manacher 算法 就需要我们更一步的去理解，和多练习熟悉。