马拉车算法,其实并不难!!!
要说马拉车算法,必须说说这道题,查找最长回文子串,马拉车算法是其中一种解法,狠人话不多,直接往下看:
题目描述
给你一个字符串 s,找到 s 中最长的回文子串。
例子
马拉车算法
这是一个奇妙的算法,是 1957 年一个叫 Manacher 的人发明的,所以叫Manacher‘s Algorithm
,主要是用来查找一个字符串的最长回文子串,这个算法最大的贡献是将时间复杂度提升到线性,前面我们说的动态规划的时间复杂度为 O(n<sup>2</sup>)。
前面说的中心拓展法,中心可能是字符也可能是字符的间隙,这样如果有 n 个字符,就有 n+n+1
个中心:
为了解决上面说的中心可能是间隙的问题,我们往每个字符间隙插入”#
“,为了让拓展结束边界更加清晰,左边的边界插入”^
“,右边的边界插入 "$
":
S
表示插入"#
","^
","$
"等符号之后的字符串,我们用一个数组P
表示S
中每一个字符能够往两边拓展的长度:
比如 P[8] = 3
,表示可以往两边分别拓展 3 个字符,也就是回文串的长度为 3,去掉 #
之后的字符串为aca
:
P[11]= 4
,表示可以往两边分别拓展 4 个字符,也就是回文串的长度为 4,去掉 #
之后的字符串为caac
:
假设我们已经得知数组 P,那么我们怎么得到回文串?
用 P
的下标 index
,减去 P[i]
(也就是回文串的长度),可以得到回文串开头字符在拓展后的字符串 S
中的下标,除以 2,就可以得到在原字符串中的下标了。
那么现在的问题是:如何求解数组 P[i]
其实,马拉车算法的关键是:它充分利用了回文串的对称性,用已有的结果来帮助计算后续的结果。
假设已经计算出字符索引位置 P 的最大回文串,左边界是 P<sub>L</sub>,右边界是 P<sub>R</sub>:
那么当我们求因为一个位置 i
的时候,i
小于等于 P<sub>R</sub>,其实我们可以找到 i
关于 P
的对称点 j
:
那么假设 j 为中心的最长回文串长度为 len,并且在 P<sub>L</sub> 到 P 的范围内,则 i 为中心的最长回文串也是如此:
以 i 为中心的最长回文子串长度等于以 j 为中心的最长回文子串的长度
但是这里有两个问题:
前一个回文字符串 P,是哪一个?
有哪些特殊情况?特殊情况怎么处理?
(1) 前一个回文字符串 P
,是指的前面计算出来的右边界最靠右的回文串,因为这样它最可能覆盖我们现在要计算的 i 为中心的索引,可以尽量重用之前的结果的对称性。
也正因为如此,我们在计算的时候,需要不断保存更新 P 的中心和右边界,用于每一次计算。
(2) 特殊情况其实就是当前 i 的最长回文字符串计算不能再利用 P 点的对称,例如:
以
i
的回文串的右边界超出了P
的右边界 P<sub>R</sub>:
这种情况的解决方案是:超过的部分,需要按照中心拓展法来一一拓展。
i
不在 以P
为中心的回文串里面,只能按照中心拓展法来处理。
具体的代码实现如下:
至于算法的复杂度,空间复杂度借助了大小为 n 的数组,为 O(n),而时间复杂度,看似是用了两层循环,实则不是 O(n<sup>2</sup>),而是 O(n)
,因为绝大多数索引位置会直接利用前面的结果以及对称性获得结果,常数次就可以得到结果,而那些需要中心拓展的,是因为超出前面结果覆盖的范围,才需要拓展,拓展所得的结果,有利于下一个索引位置的计算,因此拓展实际上较少。
【作者简介】:
秦怀,公众号【秦怀杂货店】作者,技术之路不在一时,山高水长,纵使缓慢,驰而不息。个人写作方向:Java源码解析
,JDBC
,Mybatis
,Spring
,redis
,分布式
,剑指Offer
,LeetCode
等,认真写好每一篇文章,不喜欢标题党,不喜欢花里胡哨,大多写系列文章,不能保证我写的都完全正确,但是我保证所写的均经过实践或者查找资料。遗漏或者错误之处,还望指正。
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