头脑风暴：零钱兑换 2

题目

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] 输出: 4 解释: 有四种方式可以凑成总金额: 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1

示例 2:

输入: amount = 3, coins = [2] 输出: 0 解释: 只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3。

示例 3:

输入: amount = 10, coins = [10] 输出: 1

注意，你可以假设：

• 0 <= amount (总金额) <= 5000

• 1 <= coin (硬币面额) <= 5000

• 硬币种类不超过 500 种

• 结果符合 32 位符号整数

解题思路

根据题意，这是一道典型的背包问题，根据钱币的数量不限就可以知道这是一个完全背包。

但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的个数！这是一种组合。于是分析如下：

第一步，确定 dp 数组以及下标的含义：

dp[j]: 凑成总金额 j 的货币组合数为 dp[j]。

第二步，确定递推公式：

一般公式都是：dp[j] += dp[j - coins[i]];

第三步：初始化 dp 数组：

dp[0]一定要为 1，dp[0] = 1 是 递归公式的基础。

第四步，确定遍历顺序：

外层 for 循环遍历物品（钱币），内层 for 遍历背包（金钱总额）的情况。

代码实现

class Solution {    public int change(int amount, int[] coins) {        // dp[j] 表示凑成背包容量为 j 的组合数        int[] dp = new int[amount + 1];        dp[0] = 1;                for(int i = 0; i < coins.length; i++){            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){                dp[j] += dp[j - coins[i]];            }        }
        return dp[amount];    }}

最后

• 时间复杂度：O(amount×n)，其中 amount 是总金额，n 是数组 coins 的长度。

• 空间复杂度：O(amount)，其中 amount 是总金额。需要创建长度为 amount+1 的数组 dp