数学史有没有必要读？关于数学教育，我们忽视了太多

作者：图灵教育

2022 年 4 月 22 日
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“谁需要数学史?”

和

“谁需要数学史!”

表明了两种不同的态度：前者意味开放的探讨，后者意味既定的否定看法。

归根结底，这两种不同的态度其实反映了不同的“数学观”。让我们开门见山，列举一些在数学教学中运用数学史的理由和方法。我试把内容整理为以下几点。运用数学史于数学教育的理由：

● 数学故事和历史素材可以丰富课堂内容，活跃课堂气氛，引发学生的兴趣和学习动机

● 为数学平添“人情味”，从历史发展中体会数学发展之不易，教师可借此了解学生学习中真正的困难因素

● 让学生对数学产生整体、全面的看法和认识，完善通识教育

● 启发学生，提供进一步探索的机会。

数学史真的有帮助吗? //

读者大概能意会我心目中的“可运用的数学史”是指什么。它不单指人物、轶事、谁在何时发现了什么……

它也不等于专门数学史家的研究工作。固然，我们绝不排除这些材料，它们能提供不可缺少的帮助。我是以一个数学工作者和数学教师的身份看待数学史的，不论是原著、二手材料、论述或者故事、传记，都是我们的营养品，值得我们学习、消化、运用。

通过这些材料，我们看到多姿多彩的数学意念如何产生，明白到它们如何演变成今天熟悉的形式，也从这些发展演变当中认识到创造这些知识的人、产生这些人和这些知识的客观条件，以及这些知识的社会作用和它对文化的影响。

十八世纪的德国文豪歌德说过：

“一门科学的历史就是那门科学本身。”这句话用于数学，我们不妨说：“数学史就是数学本身。”所以，吸收和运用数学史既充实了自己，也丰富了教学。

【 1 】

“我要教的是现代人用的数学，管他古代人怎么做数学呢？那些‘老古董’顶多拿来作点缀而已，那并不是真正的数学。即使你说，从数学史能窥探数学的本质和意义，那又与我何干？我也不是研究哲学的，我只想把数学教好而已。”

【 2 】

“虽然我承认数学史既有益又有趣，但我那儿来这份闲情逸致去运用它？单是在规定的时间内、在规定的课程范围里教懂这一大群程度参差的学生数学，就已经够忙的！”

这两种反应貌似不同，实则反映了同一件事：在数学教育中，我们往往只强调实用知识这一个目标。在不同时代、不同地区的数学课程纲要，其内容和使用字眼或许不相同，但笼统扼要地说，它们的目标都可以分为三方面，即：

(1)思维训练

(2)实用知识

(3)文化素养

但往往我们只注重(2)，把数学单单作为一种技能、一种工具去讲授。这样做的话，纵使传授了知识，亦必掩盖了数学作为文化活动的面目。学生不易了解数学有它的生命和发展、有它的过去和未来；学生容易把数学看成是一堆现成的公式和定理，虽然完美无误，但也是僵硬不变，而且刻板枯燥；学生见到的尽是技巧堆砌和逻辑游戏，予人闭门造车的印象。难怪只有极少数学生被数学吸引了，也只有少数学生为了日后需要使用这种工具，姑且把难处捱过去，而其余绝大部分学生都与数学疏离，厌恶、害怕它，或者对它持冷漠态度。很多学生中学毕业了，却像完全没有学过数学这一科，只当它是一场噩梦！

数学教学有“狭义”和“广义”两方面：前者是指传授数学知识，后者较难界定，笼统地说，它是指“数学观”的体现。什么是“数学观”呢？有些人以为那是抽象的哲学问题，其实它并不抽象，你的数学观就是你对数学的看法，以及你对数学本质和意义的见解。每个人总有自己对事物的看法，因此每个人一定有自己的数学观。如果你认为毋须理会数学的本质和意义，那也是一种数学观！

每个社会的成员的数学观汇集起来，其主流即形成该社会的数学观。千万不要小看这一点，千万不要以为数学观与数学教学无干。就个人而言，不论你自觉也好，不自觉也好，你的数学观必定流露并反映于你的教学中，从而影响了你的学生。就整个社会而言，证诸历史，数学和数学教育的内容及发展，决定于当时当地的数学观。

以前，我曾在一篇题为“数学，数学史，数学教师”的文章（刊于《抖擞》双月刊第 53 期，1983 年 7 月，67-72)里谈到数学上的“才、学、识”。这个提法源于清代文学家袁枚的话：“学如弓弩，才如箭镞，识以领之，方能中鹄。”于数学而言，“才”是指计算能力、推理能力、分析和综合能力、洞察力、直观思维能力、独立创作力……；“学”是指各种公式、定理、算法、理论……；“识”是指分析鉴别知识，再经融会贯通后获致个人见解的能力。

如果把这三点套用于上述的两方面，“学”便对应于狭义数学教学，而“才、学、识”三者合起来才对应于广义数学教学。至于这两方面的功能，大别之或者可以这样说：狭义数学教学达致的社会功能，就短线而言乃日常计算或专业需要，就长线而言乃数学研究及科技进展，总而言之，数学是一种工具。广义数学教学达致的还有教育功能，这包括数学思维伸延至一般思维，培养正确的学习方法和态度、良好学风和品德修养，获得数学欣赏带来的学习愉悦，乃至对知识的尊重。

单单传授知识，从广义的角度看自然是一个失败。近代哲学家怀特海说过：“教育是使人获得如何使用知识的艺术。”他也说过：“文化素养包含思维活动与对美和善的感受，而非单单零碎的知识。仅仅拥有知识的人是天下间最没用的讨厌家伙，我们的目标在于培养既具文化素养又具某种专业知识的人。”即使从狭义的角度看，只注重操练数学技能也不见得传授了知识。这样做可能使学生应付过了考试，却使大部分学生丧失兴趣、好奇心、批判能力、自学能力，甚至表达能力。总体而言，学生既感受不到一种学习的愉悦，也就难于养成一种对知识的尊重了。

表面看起来，亚洲学生的数学测试成绩排名居世界前列，这从几届国际数学教学评估报告中也可以看到。但我对这点可不敢沾沾自喜。会不会我们在技术内容方面要求过高，以致忽略了别的方面，而付出的代价就是那些不能在短期内以标准测试方式量度的质量呢？小孩子本来都很喜欢学习，对什么也都感兴趣。进了小学后，有些人不再喜欢学习了；进了中学后，更多人不喜欢学习了。原来本是有趣的事物，但由于不用考或没法考，变为没趣！那些要考的，却由于要考，也变为没趣！到头来什么都没趣了，这岂非“自讨没趣”吗？

除了传授知识以外，数学教师更有责任培养学生的数学素养、眼光和品味。固然，这不是一桩轻而易举的工作，但只有身在第一线工作的教师才能肩负这项任务，再周全再详尽的课程纲要亦只能起指引作用而已。数学教师应该设法在日常教学里渗透这种文化观点和历史眼光，让学生畅泳其中，渐渐形成自己的数学观。要这样做，教师必须充实自己的学识。数学的学识可作纵横看，“纵”是追溯数学概念和理论的来龙去脉，“横”是认识数学的本质和意义，经纬交织而成。一个数学教师也像一个独奏表演者，凭着自己的理解、领会、功力去诠释音乐作品。要作美妙的诠释，表演者本人必须先了解该作品和喜爱该作品。数学教师亦复一样，要把数学教好，教师本人必须保持自己对数学的兴趣和热情，充实自己的学识，培养那种文化观点和历史眼光。在这几方面，数学史肯定是有帮助的。让我引用一段著名科学史家乔治·萨顿（G. Sarton）的话作为本文的结束：

“数学史家的主要任务，同时又是其最钟爱的特权，就是诠释数学的人文成分，显示数学的伟大、优美和尊严，描述历代人如何以不断的努力和积累的才华去建立这座令我们自豪的壮丽纪念碑，也使我们每个人对着它叹为奇观，感到谦逊而谢天。学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家。学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并培植他们的高雅质量。”

作者萧文强

香港大学数学系教授

本文节选自《数学史和数学教育》，原文刊于《数学传播》第 16 卷第 3 期（1992），pp.23-29。

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