高僧斗法（博弈 -Nim 博弈）

作者：Five

2022 年 8 月 19 日
四川
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❓问题描述

问题 1459: [蓝桥杯][2013 年第四届真题]高僧斗法
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题目描述
古时丧葬活动中经常请高僧做法事。仪式结束后，有时会有“高僧斗法”的趣味节目，以舒缓压抑的气氛。节目大略步骤为：先用粮食（一般是稻米）在地上“画”出若干级台阶（表示 N 级浮屠）。又有若干小和尚随机地“站”在某个台阶上。最高一级台阶必须站人，其它任意。(如图 1 所示) 两位参加游戏的法师分别指挥某个小和尚向上走任意多级的台阶，但会被站在高级台阶上的小和尚阻挡，不能越过。两个小和尚也不能站在同一台阶，也不能向低级台阶移动。两法师轮流发出指令，最后所有小和尚必然会都挤在高段台阶，再也不能向上移动。轮到哪个法师指挥时无法继续移动，则游戏结束，该法师认输。对于已知的台阶数和小和尚的分布位置，请你计算先发指令的法师该如何决策才能保证胜出。
输入
输入数据为一行用空格分开的 N 个整数，表示小和尚的位置。台阶序号从 1 算起，所以最后一个小和尚的位置即是台阶的总数。（N< 100, 台阶总数< 1000）
输出
输出为一行用空格分开的两个整数: A B, 表示把 A 位置的小和尚移动到 B 位置。若有多个解，输出 A 值较小的解，若无解则输出-1。
样例输入
1  5  9 
c 样例输出
1 4

💡思路

这是一道经典的阶梯 Nim 博弈问题，想解决这道题首先要知道 Nim 博弈（如果知道就直接看代码吧）， Nim 博弈就是说，给你几堆小石子，让两个玩家分别在这几堆小石子中取出石子（可以将某堆石子全部取出也可以在某堆中只取一个小石子，当然是不可能不取的，不然还玩撒）。谁取到最后，没有石子取就输了。

比如有 3 堆石子，每堆分别为 2 3 4 个小石子，如下图所示

玩游戏都想赢，所以如何取尤为重要，方案有很多，想快速知道如果我方先手是赢还是输，直接就用 Nim 研究过的成果。

Nim 的做法就是将 2 3 4 都转化为 2 进制再异或得出结果，如果结果是非 0 那么先手必定赢如果结果为 0 那么先手必输（前提，玩游戏的都想赢且都很聪明）

可以看到异或后得到的结果是非 0 则先手必胜，先手遇到如此局面肯定会想办法将它变成 0 这里先手在个数为 4 的一堆中取出 3 个。这堆就变成 1 个整个局面的结果就变成 0，那么后手进行操作的话，无论操作哪一堆，在哪堆中拿多少个石子，看看下图对不对。肯定会破坏这种局面，让结果变为非 0，比如后手在为 3 堆一堆取走 3，

比如后手在为 3 堆一堆取走 3，如下图

现在又到该先手取石子了，这个时候先手肯定要把 2 个石子的一堆取出 1 个来，还剩 1 个，如图所示

现在又轮到后手去取石子，现在一眼就可以看出先手必赢了吧，后手根据规则只能拿走一个，然后轮到先手拿了最后一个，后手就没得办法取，游戏就结束了。

现在回过头来看阶梯 Nim 博弈问题。只需要将阶梯 Nim 博弈问题转换为 Nim 博弈问题即可，做如下转换，每两个和尚之间看做一堆，比如和尚分别站 1 3 5 8 那么可以转换为 3 堆，分别为 1 1 2，再取异或就可以知道先手是否必赢，具体实现可以看代码。（注意；如果移动了一个小和尚除了边界，会影响相邻两堆的情况，看代码注释）

AC 代码

#include<iostream>#define N 102using namespace std; int main(){  int a[N],b[N];    int n = 0,i,j,k,sum = 0;      while(cin>>a[n])n++;//存储又有多少个小和尚      for(i=1; i<n; i++)b[i-1] = a[i] - a[i-1] - 1;// 进行Nim博弈的转换        for(i=0; i<n-1; i+=2) sum ^= b[i];//进行异或     if(sum==0)cout<<-1<<endl;//若开始局面为0 则必输     else//若非0 则必赢，因此 需要找到第一步 将局面变为0 的步骤     {        for(i=0; i<n-1; ++i)//枚举移动第i堆  使得剩下的局面异或等于0，            for(j=1; a[i]+j<a[i+1]; ++j) {//枚举可以移动的步数  保证 前项移动j 步后 不会超过后项 			    b[i] -= j;//拿走 j个 ，这里代表 前一个向上移动j步                 if(i!=0)b[i-1] += j;//它的后一堆b[i]向取走了j个，那莫前一堆 b[i-1] 则要增加j个 第一堆除外             sum = 0;            for(k=0; k<n-1; k+=2) sum ^= b[k];//重新计算局面， 		   if(sum==0) {cout<<a[i]<<" "<<a[i]+j<<endl; break;}//若变成0  则后手必败，先手必赢。跳出即可；             b[i] += j;//回溯 这不是必赢的操作             if(i!=0) b[i-1] -= j;           }    }    return 0;   }