Matlab 数值微分与数值积分，linux 环境高级编程

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)2. 数值积分

• 2.1 数值积分基本原理

现有：

在求任意函数 f(x)在[a，b]上的定积分时，可以寻找一个在[a，b]上与 f(x)逼近，但形式上却简单且易于求积分的函数 p(x)，用 p(x)在[a，b]上的积分值近似地代替 f(x)在[a，b]上的积分值，一般选择被积函数的插值多项式充当这样的替代函数。选择的插值多项式的次数不同，就形成了不同的数值积分公式。

对被积函数 f(x)采用一、二次多项式插值，然后对插值多项式求积分，就得到了几个常见的数值积分公式：

• 2.2 数值积分的实现

1. 基于变步长辛普森法，MATLAB 给出了 quad 函数和 quadl 函数来求定积分。函数的调用格式为：

[I,n]=quad(filename,a,b,tol,trace)

[I,n]=quadl(filename,a,b,tol,trace)

filename：被积函数名；

a 和 b：定积分的下限和上限，

tol：用来控制积分精度，默认时取 tol=10-6；

trace：控制是否展现积分过程，若取非 0 则展现积分过程，取 0 则不展现，默认时取 trace=0；

I：定积分值，

n：被积函数的调用次数。

例：就下列函数积分

例： 分别用 quad 函数和 quadl 函数求函数的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。

2．自适应积分法

• MATLAB 提供了基于全局自适应积分算法的 integral 函数来求定积分，函数的调用格式为：

I=integral(filename,a,b)

其中，I是计算得到的积分；filename是被积函数；a和b分别是定积分的下限和上限，积分限可以为无穷大 。

例：求下列积分函数

3．高斯-克朗罗德法

• MATLAB 提供了基于自适应高斯-克朗罗德法的 quadgk 函数来求振荡函数的定积分。该函数的调用格式为

[I,err]=quadgk(filename,a,b)

其中，err 返回近似误差范围，其他参数的含义和用法与 quad 函数相同。积分上下限可以是?Inf 或 Inf，也可以是复数。如果积分上下限是复数，则 quadgk 在复平面上求积分。

求下列积分函数：

4．梯形积分法

• 在科学实验和工程应用中，函数关系表达式往往是不知道的，只有实验测定的一组样本点和样本值，这时，人们就无法使用 quad 等函数计算其定积分。在 MATLAB 中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用梯形积分函数 trapz，其调用格式为：

I=trapz(X,Y)

其中，向量 X、Y 定义函数关系 Y = f(X)。X、Y 是两个等长的向量：X = (x1，x2，…，xn)，Y = (y1，y2，…，yn)，并且 x1<x2<…<xn，积分区间是[x1，xn]。

例：求下列积分函数

5．累计梯形积分

• 在 MATLAB 中，提供了对数据积分逐步累计的函数 cumtrapz。该函数调用格式如下。

Z=cumtrapz(Y)

Z=cumtrapz(X,Y)

对于向量 Y，Z 是一个与 Y 等长的向量；对于矩阵 Y，Z 是一个与 Y 相同大小的矩阵，累计计算 Y 每列的积分。函数其他参数的含

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义和用法与 trapz 函数的相同。

例：

2.3 多重定积分的数值求解