虽然我们熟悉的逻辑回归通常被用于处理二分类问题，但逻辑回归也可以做多分类。

sklearn 中的逻辑回归

| 逻辑回归相关的类 | 说明 |

| --- | --- |

| linear_model.LogisticRegression | 逻辑回归分类器（又叫 logit 回归，最大熵分类器） |

| linear_model.LogisticRegressionCV | 带交叉验证的逻辑回归分类器 |

| linear_model.logistic_regression_path | 计算 Logistic 回归模型以获得正则化参数的列表 |

| linear_model.SGDClassifier | 利用梯度下降求解的线性分类器（SVM，逻辑回归等等） |

| linear_model.SGDRegressor | 利用梯度下降最小化正则化后的损失函数的线性回归模型 |

| metrics.log_loss | 对数损失，又称逻辑损失或交叉熵损失 |

| 【 在 sklearn0.21 版本中即将被移除】 | |

| --- | --- |

| linear_model.RandomizedLogisticRegression | 随机的逻辑回归 |

| 其他会涉及的类 | 说明 |

| --- | --- |

| metrics.confusion_matrix | 混淆矩阵，模型评估指标之一 |

| metrics.roc_auc_score | ROC 曲线，模型评估指标之一 |

| metrics.accuracy_score | 精确性，模型评估指标之一 |

linear_model.LogisticRegression

===================================================================================================

class sklearn.linear_model.LogisticRegression (

penalty='l2',

dual=False,

tol=0.0001,

C=1.0,

fit_intercept=True,

intercept_scaling=1,

class_weight=None,

random_state=None,

solver='warn',

max_iter=100,

multi_class='warn',

verbose=0,

warm_start=False,

n_jobs=None

)

二元逻辑回归的损失函数

损失函数的概念与解惑

在学习决策树和随机森林时，我们曾经提到过两种模型表现：

• 在训练集上的表现

• 在测试集上的表现

我们建模是追求模型在测试集上的表现最优，因此模型的评估指标往往是用来衡量模型在测试集上的表现的。

然而，逻辑回归有着基于训练数据求解参数 θ \theta θ的需求，并且希望训练出来的模型能够尽可能地拟合训练数据，即模型在训练集上的预测准确率越靠近 100%越好。

因此，我们使用"损失函数"这个评估指标，来衡量参数为θ的模型拟合训练集时产生的信息损失的大小，并以此衡量参数θ的优劣。如果用一组参数建模后，

• 模型在训练集上表现良好

那我们就说模型拟合过程中的损失很小，损失函数的值很小，这一组参数就优秀

• 模型在训练集上表现糟糕

损失函数就会很大，模型就训练不足，效果较差，这一组参数也就比较差

即是说，我们在求解参数 θ \theta θ时，追求损失函数最小，让模型在训练数据上的拟合效果最优，即预测准确率尽量靠近 100%。

关键概念：损失函数

衡量参数 θ \theta θ的优劣的评估指标，用来求解最优参数的工具

损失函数小，模型在训练集上表现优异，拟合充分，参数优秀

损失函数大，模型在训练集上表现差劲，拟合不足，参数糟糕

我们追求：能够让损失函数最小化的参数组合

注意：没有"求解参数"需求的模型没有损失函数，比如 KNN，决策树

逻辑回归的损失函数是由极大似然估计推导出来的，具体结果可以写作：

J ( θ ) = ? ∑ i = 1 m ( y i ? l o g ( y θ ( x i ) ) + ( 1 ? y i ) ? l o g ( 1 ? y θ ( x i ) ) ) ) J(\theta) = - \sum _{i=1} ^m (y_i * log(y_\theta(x_i)) + (1-y_i) * log(1-y_\theta(x_i)))) J(θ)=?i=1∑m?(yi??log(yθ?(xi?))+(1?yi?)?log(1?yθ?(xi?))))

其中， θ \theta θ表示求解出来的一组参数，m 是样本的个数， y i y_i yi?是样本 i 上真实的标签， y θ ( x i ) y_\theta(x_i) yθ?(xi?)是样本 i 上，基于参数 θ \theta θ计算出来的逻辑回归返回值， x i x_i xi?是样本 i 各个特征的取值。我们的目标就是求解出使 J ( θ ) J(\theta) J(θ)最小的 θ \theta θ取值。

注意，在逻辑回归的本质函数 y(x)里，特征矩阵 x 是自变量，参数是 θ \theta θ。但在损失函数中，参数 θ \theta θ是损失函数的自变量，x 和 y 都是已知的特征矩阵和标签，相当于是损失函数的参数。不同的函数中，自变量和参数各有不同，因此大家需要在数学计算中，尤其是求导的时候避免混淆。

由于我们追求损失函数的最小值，让模型在训练集上表现最优，可能会引发另一个问题：如果模型在训练集上表示优秀，却在测试集上表现糟糕，模型就会过拟合。虽然逻辑回归和线性回归是天生欠拟合的模型，但我们还是需要控制过拟合的技术来帮助我们调整模型，对逻辑回归中过拟合的控制，通过正则化来实现。

重要参数 penalty & C

正则化（L1、L2）

正则化是用来防止模型过拟合的过程，常用的有 L1 正则化和 L2 正则化两种选项，分别通过在损失函数后加上参数向量 θ \theta θ的 L1 范式和 L2 范式的倍数来实现，这个增加的范式，被称为"正则项"，也被称为"惩罚项"。

损失函数改变，基于损失函数的最优化来求解的参数取值必然改变，我们以此来调节模型拟合的程度

• L1 范式表现为参数向量中的每个参数的绝对值之和

J ( θ ) L 1 = C ? J ( θ ) + ∑ j = 1 n ∣ θ j ∣ ( j ≥ 1 ) J(\theta)_{L1} = C * J(\theta) + \sum_{j=1}^{n} |\theta_j | (j \ge 1) J(θ)L1?=C?J(θ)+j=1∑n?∣θj?∣(j≥1)

• L2 范数表现为参数向量中的每个参数的平方和的开方值。

J ( θ ) L 2 = C ? J ( θ ) + ∑ j = 1 n ( θ j ) 2 ( j ≥ 1 ) J(\theta)_{L2} = C * J(\theta) + \sqrt{\sum_{j=1}^n(\theta_j)^2}(j \ge 1) J(θ)L2?=C?J(θ)+j=1∑n?(θj?)2 ?(j≥1)

• J ( θ ) J(\theta) J(θ) - 损失函数

• C - 用来控制正则化程度的超参数

• n - 方程中特征的总数，也是方程中参数的总数

• j - 每个参数

在这里 j 要大于等于 1，因为我们的参数向量 θ \theta θ中，第一个参数是 θ 0 \theta_0 θ0?是截距，它通常不参与正则化。

在许多书籍和博客中，大家可能也会见到如下的写法：

其实和我们上面的式子的本质是一模一样的。不过在大多数教材和博客中，常数项是乘以正则项，通过调控正则项来调节对模型的惩罚。而 sklearn 当中，常数项 C 是在损失函数的前面，通过调控损失函数本身的大小，来调节对模型的惩罚。

参数：

• penalty
  

可以输入"l1" 或 "l2" 来指定使用哪一种正则化方式，不填写默认 "l2"

若选择"l1"正则化，参数solver仅能够使用求解方式"liblinear"和"saga"

若使用"l2"正则化，参数solver中所有的求解方式都可以使用

• C
  

C 是正则化强度的倒数，必须是一个大于 0 的浮点数，不填写默认 1.0，即默认正则项与损失函数的比值是 1:1。C 越小，损失函数会越小，模型对损失函数的惩罚越重，正则化的效力越强，参数会逐渐被压缩得越来越小。

L1 正则化和 L2 正则化虽然都可以控制过拟合，但它们的效果并不相同。当正则化强度逐渐增大（即 C 逐渐变小），参数 θ \theta θ的取值会逐渐变小：

• L1 正则化会将参数压缩为 0

• L2 正则化只会让参数尽量小，不会取到 0

在 L1 正则化在逐渐加强的过程中，携带信息量小的

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、对模型贡献不大的特征的参数，会比携带大量信息的、对模型有巨大贡献的特征的参数更快地变成 0，所以 L1 正则化本质是一个特征选择的过程，掌管了参数的“稀疏性”。L1 正则化越强，参数向量中就越多的参数为 0，参数就越稀疏，选出来的特征就越少，以此来防止过拟合。因此，如果特征量很大，数据维度很高，我们会倾向于使用 L1 正则化。由于 L1 正则化的这个性质，逻辑回归的特征选择可以由 Embedded 嵌入法来完成。

相对的，L2 正则化在加强的过程中，会尽量让每个特征对模型都有一些小的贡献，但携带信息少，对模型贡献不大的特征的参数会非常接近于 0。通常来说，如果我们的主要目的只是为了防止过拟合，选择 L2 正则化就足够了。但是如果选择 L2 正则化后还是过拟合，模型在未知数据集上的效果表现很差，就可以考虑 L1 正则化。

两种正则化下 C 的取值，都可以通过学习曲线来进行调整。

建立两个逻辑回归，L1 正则化和 L2 正则化的差别就一目了然了：

导库

from sklearn.linear_model import LogisticRegression as LR

from sklearn.datasets import load_breast_cancer # 乳腺癌数据

import numpy as np # 画图

import matplotlib.pyplot as plt # 画图

from sklearn.model_selection import train_test_split

from sklearn.metrics import accuracy_score

data = load_breast_cancer() # 读取乳腺癌数据

X = data.data

y = data.target

data.data.shape #569 个样本,30 个特征

lrl1 = LR(penalty="l1",solver="liblinear",C=0.5,max_iter=1000) #l1 范式正则化

lrl2 = LR(penalty="l2",solver="liblinear",C=0.5,max_iter=1000) #l2 范式正则化

#逻辑回归的重要属性 coef_(θ)，查看每个特征所对应的参数

lrl1 = lrl1.fit(X,y)

lrl1.coef_ # l1 正则化会让参数为 0

(lrl1.coef_ != 0).sum(axis=1)

lrl2 = lrl2.fit(X,y)

lrl2.coef_ # l2 正则化不会让参数为 0

可以看见，当我们选择 L1 正则化的时候，许多特征的参数都被设置为了 0，这些特征在真正建模的时候，就不会出现在我们的模型当中了，而 L2 正则化则是对所有的特征都给出了参数。

究竟哪个正则化的效果更好呢？还是都差不多？

np.linspace(0.05, 1, 19) #从 0.05 开始到 1,取出 19 个数字

l1 = []

l2 = []

l1test = []

l2test = []

30%数据用于测试,70%用于训练,420 是随便输的数

Xtrain, Xtest, Ytrain, Ytest = train_test_split(X,y,test_size=0.3,random_state=420)

画图

for i in np.linspace(0.05,1,19):

lrl1 = LR(penalty="l1",solver="liblinear",C=i,max_iter=1000) # l1 正则化

lrl2 = LR(penalty="l2",solver="liblinear",C=i,max_iter=1000) # l2 正则化

lrl1 = lrl1.fit(Xtrain,Ytrain)

l1.append(accuracy_score(lrl1.predict(Xtrain),Ytrain))

l1test.append(accuracy_score(lrl1.predict(Xtest),Ytest)) # lrl1.score(Xtest, Ytest)

lrl2 = lrl2.fit(Xtrain,Ytrain)

l2.append(accuracy_score(lrl2.predict(Xtrain),Ytrain))

l2test.append(accuracy_score(lrl2.predict(Xtest),Ytest))

graph = [l1,l2,l1test,l2test]

color = ["green","black","lightgreen","gray"]

label = ["L1","L2","L1test","L2test"]

plt.figure(figsize=(6,6))

for i in range(len(graph)):

plt.plot(np.linspace(0.05,1,19),graph[i],color[i],label=label[i])

plt.legend(loc=4) #标签名的位置在哪里? 4 表示:右下角

plt.show()

可见，至少在我们的乳腺癌数据集下，两种正则化的结果区别不大。但随着 C 的逐渐变大，正则化的强度越来越小，模型在训练集和测试集上的表现都呈上升趋势，直到 C=0.8 左右，训练集上的表现依然在走高，但模型在未知数据集上的表现开始下跌，这时候就是出现了过拟合。我们可以认为，C 设定为 0.8 会比较好。

实际使用时，基本就默认使用 l2 正则化，如果感觉到模型的效果不好，那就换 L1 试试看。

附录

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