头脑风暴：零钱兑换

题目

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] 输出: 4 解释: 有四种方式可以凑成总金额: 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1

示例 2: 输入: amount = 3, coins = [2] 输出: 0 解释: 只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3。

示例 3: 输入: amount = 10, coins = [10] 输出: 1

注意，你可以假设：

• 0 <= amount (总金额) <= 5000

• 1 <= coin (硬币面额) <= 5000

• 硬币种类不超过 500 种

• 结果符合 32 位符号整数

解题思路

根据题意钱币数量不限，我们就可以知道本题是一个完全背包。但是和完全背包又有点不一样，纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的个数。

注意本题要求的是凑成硬币的组合数，这里面有什么说法吗? 举例来说：

5 = 2 + 2 + 1；

5 = 1 + 2 + 2；

这个是一种组合，元素都是 2 2 1，如果是按照元素的排列数，那么这就是俩种排列了。组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。

接下来，我们来通过动态规划的方式来求解此题：

第一步，确定 dp 数组以及下标的含义：dp[j]：凑成总金额 j 的货币组合数为 dp[j]。

第二步，确定递推公式：求装满背包有几种方法，一般公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];

第三步，dp 数组初始化：从 dp[i]的含义上来讲就是，凑成总金额 0 的货币组合数为 1。下标非 0 的 dp[j]初始化为 0，这样累计加 dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的 dp[j]，所以 dp[0] = 1。

第四步，确定遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包。以往我们求解完全背包的时候俩个 for 循环的的顺序是无关紧要的，为啥这次需要先遍历物品，再遍历背包呢？

我们先来看外层 for 循环遍历物品（钱币），内层 for 遍历背包（金钱总额）的情况，代码如下：

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量        dp[j] += dp[j - coins[i]];    }}

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。那么就是先把 1 加入计算，然后再把 5 加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。所以这种遍历顺序中 dp[j]里计算的是组合数！

如果把两个 for 交换顺序，代码如下：

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];    }}

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。此时 dp[j]里算出来的就是排列数！

代码实现

class Solution {    public int change(int amount, int[] coins) {        // dp[j] 表示凑成背包容量为 j 的组合数        int[] dp = new int[amount + 1];        dp[0] = 1;                for(int i = 0; i < coins.length; i++){            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){                dp[j] += dp[j - coins[i]];            }        }
        return dp[amount];    }}