一 简介

动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）问题，是算法中比较让人头疼的问题之一（算法大神请绕路）。原理并不复杂，相信大家也都能说出大概以及关键步骤：确定状态转移方程。但实际做题时，还是很难确保得心应手。本篇将尝试进行解析，并结合示例看如何能够有效理解并深入，再后续遇到 DP 问题时可以快速解答。

动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果。（本段来自百度百科）

二 概念

2.1 什么是动态规划

动态规划算法通常基于一个递推公式（状态转移方程）和一个或多个初始状态。当前子问题的解将由上一次子问题的解推导而出。使用动态规划解决问题需要多项式时间的复杂度，因此比回溯、暴力等方法要快很多。

为什么叫动态规划？首先，动态规划解决的问题，过程可以分为若干个相互关联的“阶段”，每个阶段都要作出“决策”，使整个过程达到最好的效果。因此各阶段的决策依赖于当前面临的“状态”，又影响以后的“发展”。各阶段决策确定后，就组成一个决策序列。所以这类问题业往往可以成为多阶段决策问题。这类问题中，各阶段的决策，既依赖于当前状态，又会引起状态转移，所以会成为“动态”。

2.2 基本思想

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。这类问题可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，希望找到的是具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法的差别在于，适合用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。通过保存已解决的子问题的答案，在需要时再找出已求得的答案的方式，避免大量的重复计算，节省时间。

我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

2.3 局限

动态规划对于解决多阶段决策问题的效果是明显的，但是动态规划也有一定的局限性。首先，它没有统一的处理方法，必须根据问题的各种性质并结合一定的技巧来处理；另外当变量的维数增大时，总的计算量及存贮量急剧增大。因而，受计算机的存贮量及计算速度的限制，当今的计算机仍不能用动态规划方法来解决较大规模的问题，这就是“维数障碍”。

三 问题实例

3.1 问题描述

选择 leetcode 的第 62 题：62. 不同路径，问题描述：

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。问总共有多少条不同的路径？

示例：

如上图所示，m=3，n=3，从左上角到右下角，共有 3 中可能的路径，用数组位置表示：

路径 1：arr[0,0]->arr[0,1]->arr[0,2]->arr[1,2]

路径 2：arr[0,0]->arr[0,1]->arr[1,1]->arr[1,2]

路径 3：arr[0,0]->arr[1,0]->arr[1,1]->arr[1,2]

3.2 问题解析

通过上面的示例，可以了解问题的含义和限制条件。用 i 表示横坐标，j 表示纵坐标，f(i,j) 表示从左上角走到 (i, j)的路径数量，其中 i 和 j 的范围分别是 [0, m) 和 [0, n)。

由于我们每一步只能从向下或者向右移动一步，因此要想走到 (i, j)，如果向下走一步，那么会从 (i-1, j)走过来；如果向右走一步，那么会从 (i, j-1)走过来。因此我们可以写出动态规划转移方程：

f(i,j)=f(i−1,j)+f(i,j−1)

需要注意的是，如果 i=0，那么 f(i-1,j)并不是一个满足要求的状态，需要忽略这一项；同理，如果 j=0，那么 f(i,j-1)并不是一个满足要求的状态，需要忽略这一项。

初始条件为 f(0,0)=1，即从左上角走到左上角有一种方法。

最终的答案即为 f(m-1,n-1)

3.3 代码

public int uniquePaths(int m, int n) {    int[][] f = new int[m][n];    for (int i = 0; i < m; ++i) {        f[i][0] = 1;    }    for (int j = 0; j < n; ++j) {        f[0][j] = 1;    }    for (int i = 1; i < m; ++i) {        for (int j = 1; j < n; ++j) {            f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];        }    }    return f[m - 1][n - 1];}

3.4 复杂度分析

时间复杂度：O(mn)。

空间复杂度：O(mn)，即为存储所有状态需要的空间。注意到 f(i, j)仅与第 i 行和第 i-1 行的状态有关，因此我们可以用滚动数组代替代码中的二维数组，使空间复杂度降低为 O(n)。此外，由于交换行列的值并不会对答案产生影响，因此我们总可以通过交换 m 和 n 使得 m<=n，这样空间复杂度降低至 O(min(m, n))。

四 总结

再回顾一下解题过程：

1）创建数组，存储阶段（子问题）的解（决策）；

2）初始化，如果 1）中创建的是二维数组，那么就是初始化 arr[0][0]~arr[0][n] 和 arr[0][0]~arr[m][0]；

3）这样后面在计算时就可以在循环中使用前面子问题的解了（状态转移方程的执行）

4）输出计算结果