看一遍就理解：动态规划详解，双非渣本 Java 四年磨一剑
动态规划最核心的思想，就在于拆分子问题，记住过往，减少重复计算。
我们来看下，网上比较流行的一个例子：
A ： "1+1+1+1+1+1+1+1 =？"
A ： "上面等式的值是多少"
B ： 计算 "8"
A : 在上面等式的左边写上 "1+" 呢？
A : "此时等式的值为多少"
B : 很快得出答案 "9"
A : "你怎么这么快就知道答案了"
A : "只要在 8 的基础上加 1 就行了"
A : "所以你不用重新计算，因为你记住了第一个等式的值为 8!动态规划算法也可以说是 '记住求过的解来节省时间'"
一个例子带你走进动态规划 -- 青蛙跳阶问题
暴力递归
leetcode 原题：一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级台阶。求该青蛙跳上一个 10 级的台阶总共有多少种跳法。
有些小伙伴第一次见这个题的时候，可能会有点蒙圈，不知道怎么解决。其实可以试想：
要想跳到第 10 级台阶，要么是先跳到第 9 级，然后再跳 1 级台阶上去;要么是先跳到第 8 级，然后一次迈 2 级台阶上去。
同理，要想跳到第 9 级台阶，要么是先跳到第 8 级，然后再跳 1 级台阶上去;要么是先跳到第 7 级，然后一次迈 2 级台阶上去。
要想跳到第 8 级台阶，要么是先跳到第 7 级，然后再跳 1 级台阶上去;要么是先跳到第 6 级，然后一次迈 2 级台阶上去。
假设跳到第 n 级台阶的跳数我们定义为 f(n)，很显然就可以得出以下公式：
f（10） = f（9）+f(8)
f (9) = f(8) + f(7)
f (8) = f(7) + f(6)
...
f(3) = f(2) + f(1)
即通用公式为: f(n) = f(n-1) + f(n-2)
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那 f(2) 或者 f(1) 等于多少呢？
当只有 2 级台阶时，有两种跳法，第一种是直接跳两级，第二种是先跳一级，然后再跳一级。即 f(2) = 2;
当只有 1 级台阶时，只有一种跳法，即 f（1）= 1；
因此可以用递归去解决这个问题：
class Solution {
public int numWays(int n) {
if(n == 1){
return 1;
}
if(n == 2){
return 2;
}
return numWays(n-1) + numWays(n-2);
}
}
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去 leetcode 提交一下，发现有问题，超出时间限制了
为什么超时了呢？递归耗时在哪里呢？先画出递归树看看：
要计算原问题 f(10)，就需要先计算出子问题 f(9) 和 f(8)
然后要计算 f(9)，又要先算出子问题 f(8) 和 f(7)，以此类推。
一直到 f(2) 和 f(1），递归树才终止。
我们先来看看这个递归的时间复杂度吧：
递归时间复杂度 = 解决一个子问题时间*子问题个数
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一个子问题时间 = f（n-1）+f（n-2），也就是一个加法的操作，所以复杂度是 O(1)；
问题个数 = 递归树节点的总数，递归树的总节点 = 2^n-1，所以是复杂度 O(2^n)。
因此，青蛙跳阶，递归解法的时间复杂度 = O(1) * O(2^n) = O(2^n)，就是指数级别的，爆炸增长的，如果 n 比较大的话，超时很正常的了。
回过头来，你仔细观察这颗递归树，你会发现存在大量重复计算，比如 f（8）被计算了两次，f（7）被重复计算了 3 次...所以这个递归算法低效的原因，就是存在大量的重复计算！
既然存在大量重复计算，那么我们可以先把计算好的答案存下来，即造一个备忘录，等到下次需要的话，先去备忘录查一下，如果有，就直接取就好了，备忘录没有才开始计算，那就可以省去重新重复计算的耗时啦！这就是带备忘录的解法。
带备忘录的递归解法（自顶向下）
一般使用一个数组或者一个哈希 map 充当这个备忘录。
第一步，f（10）= f(9) + f(8)，f(9) 和 f（8）都需要计算出来，然后再加到备忘录中，如下：
sdnimg.cn/img_convert/24fba5fa8eb69e5caa8279d18b55e914.png)
第二步， f(9) = f（8）+ f（7），f（8）= f（7）+ f(6), 因为 f(8) 已经在备忘录中啦，所以可以省掉，f(7),f（6）都需要计算出来，加到备忘录中~
第三步， f(8) = f（7）+ f(6),发现 f(8)，f(7),f（6）全部都在备忘录上了，所以都可以剪掉。
所以呢，用了备忘录递归算法，递归树变成光秃秃的树干咯，如下：
带备忘录的递归算法，子问题个数=树节点数=n，解决一个子问题还是 O(1),所以带备忘录的递归算法的时间复杂度是 O(n)。接下来呢，我们用带备忘录的递归算法去撸代码，解决这个青蛙跳阶问题的超时问题咯~，代码如下：
public class Solution {
//使用哈希 map，充当备忘录的作用
Map<Integer, Integer> tempMap = new HashMap();
public int numWays(int n) {
// n = 0 也算 1 种
if (n == 0) {
return 1;
}
if (n <= 2) {
return n;
}
//先判断有没计算过，即看看备忘录有没有
if (tempMap.containsKey(n)) {
//备忘录有，即计算过，直接返回
return tempMap.get(n);
} else {
// 备忘录没有，即没有计算过，执行递归计算,并且把结果保存到备忘录 map 中，对 1000000007 取余（这个是 leetcode 题目规定的）
tempMap.put(n, (numWays(n - 1) + numWays(n - 2)) % 1000000007);
return tempMap.get(n);
}
}
}
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去 leetcode 提交一下，如图，稳了：
其实，还可以用动态规划解决这道题。
自底向上的动态规划
动态规划跟带备忘录的递归解法基本思想是一致的，都是减少重复计算，时间复杂度也都是差不多。但是呢：
带备忘录的递归，是从 f(10)往 f(1）方向延伸求解的，所以也称为自顶向下的解法。
动态规划从较小问题的解，由交叠性质，逐步决策出较大问题的解，它是从 f(1)往 f(10）方向，往上推求解，所以称为自底向上的解法。
动态规划有几个典型特征，最优子结构、状态转移方程、边界、重叠子问题。在青蛙跳阶问题中：
f(n-1)和 f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构
f(n)= f（n-1）+f（n-2）就称为状态转移方程
f(1) = 1, f(2) = 2 就是边界啦
比如 f(10)= f(9)+f(8),f(9) = f(8) + f(7) ,f(8)就是重叠子问题。
我们来看下自底向上的解法，从 f(1)往 f(10）方向，想想是不是直接一个 for 循环就可以解决啦，如下：
带备忘录的递归解法，空间复杂度是 O(n)，但是呢，仔细观察上图，可以发现，f（n）只依赖前面两个数，所以只需要两个变量 a 和 b 来存储，就可以满足需求了，因此空间复杂度是 O(1)就可以啦
动态规划实现代码如下：
public class Solution {
public int numWays(int n) {
if (n<= 1) {
return 1;
}
if (n == 2) {
return 2;
}
int a = 1;
int b = 2;
int temp = 0;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
temp = (a + b)% 1000000007;
a = b;
b = temp;
}
return temp;
}
}
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动态规划的解题套路
什么样的问题可以考虑使用动态规划解决呢？
如果一个问题，可以把所有可能的答案穷举出来，并且穷举出来后，发现存在重叠子问题，就可以考虑使用动态规划。
比如一些求最值的场景，如最长递增子序列、最小编辑距离、背包问题、凑零钱问题等等，都是动态规划的经典应用场景。
动态规划的解题思路
动态规划的核心思想就是拆分子问题，记住过往，减少重复计算。 并且动态规划一般都是自底向上的，因此到这里，基于青蛙跳阶问题，我总结了一下我做动态规划的思路：
穷举分析
确定边界
找出规律，确定最优子结构
写出状态转移方程
1. 穷举分析
当台阶数是 1 的时候，有一种跳法，f（1） =1
当只有 2 级台阶时，有两种跳法，第一种是直接跳两级，第二种是先跳一级，然后再跳一级。即 f(2) = 2;
当台阶是 3 级时，想跳到第 3 级台阶，要么是先跳到第 2 级，然后再跳 1 级台阶上去，要么是先跳到第 1 级，然后一次迈 2 级台阶上去。所以 f(3) = f(2) + f(1) =3
当台阶是 4 级时，想跳到第 3 级台阶，要么是先跳到第 3 级，然后再跳 1 级台阶上去，要么是先跳到第 2 级，然后一次迈 2 级台阶上去。所以 f(4) = f(3) + f(2) =5
当台阶是 5 级时......
2. 确定边界
通过穷举分析，我们发现，当台阶数是 1 的时候或者 2 的时候，可以明确知道青蛙跳法。f（1） =1，f(2) = 2，当台阶 n>=3 时，已经呈现出规律 f(3) = f(2) + f(1) =3，因此 f（1） =1，f(2) = 2 就是青蛙跳阶的边界。
3. 找规律，确定最优子结构
n>=3 时，已经呈现出规律 f(n) = f(n-1) + f(n-2) ，因此，f(n-1)和 f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构。什么是最优子结构？有这么一个解释：
一道动态规划问题，其实就是一个递推问题。假设当前决策结果是 f(n),则最优子结构就是要让 f(n-k) 最优,最优子结构性质就是能让转移到 n 的状态是最优的,并且与后面的决策没有关系,即让后面的决策安心地使用前面的局部最优解的一种性质
4， 写出状态转移方程
通过前面 3 步，穷举分析，确定边界，最优子结构，我们就可以得出状态转移方程啦：
5. 代码实现
我们实现代码的时候，一般注意从底往上遍历哈，然后关注下边界情况，空间复杂度，也就差不多啦。动态规划有个框架的，大家实现的时候，可以考虑适当参考一下：
dp[0][0][...] = 边界值
for(状态 1 ：所有状态 1 的值){
for(状态 2 ：所有状态 2 的值){
for(...){
//状态转移方程
dp[状态 1][状态 2][...] = 求最值
}
}
}
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还未添加个人签名 2021.03.18 加入
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