本文分享自华为云社区《一文读懂简单查询代价估算【这次高斯不是数学家】》，作者： leapdb。
查询代价估算——如何选择一条最优的执行路径
SQL 生命周期：词法分析（Lex） -> 语法分析（YACC） -> 分析重写 -> 查询优化（逻辑优化和物理优化） -> 查询计划生成 -> 查询执行。
词法分析：描述词法分析器的*.l 文件经 Lex 工具编译生成 lex.yy.c， 再由 C 编译器生成可执行的词法分析器。基本功能就是将一堆字符串根据设定的保留关键字和非保留关键字，转化成相应的标识符（Tokens）。
语法分析：语法规则描述文件*.y 经 YACC 工具编译生成 gram.c，再由 C 编译器生成可执行的语法分析器。基本功能就是将一堆标识符（Tokens）根据设定的语法规则，转化成原始语法树。
分析重写：查询分析将原始语法树转换为查询语法树（各种 transform）;查询重写根据 pg_rewrite 中的规则改写表和视图，最终得到查询语法树。
查询优化：经过逻辑优化和物理优化（生成最优路径）。
查询计划生成：将最优的查询路径转化为查询计划。
查询执行：通过执行器去执行查询计划生成查询的结果集。
在物理优化阶段，同样的一条 SQL 语句可以产生很多种查询路径，例如：多表 JOIN 操作，不同的 JOIN 顺序产生不同的执行路径，也导致中间结果元组规模的不同。查询引擎会在所有可行的查询访问路径中选择执行代价最低的一条。
通常我们依据 COST = COST（CPU） + COST（IO） 这一公式来选择最优执行计划。这里最主要的问题是如何确定满足某个条件的元组数量，基本方法就是依据统计信息和一定的统计模型。某条件的查询代价 = tuple_num * per_tuple_cost。
统计信息主要是 pg_class 中的 relpages 和 reltuples，以及 pg_statistics 中的 distinct， nullfrac， mcv， histgram 等。
为何需要这些统计信息，有了这些够不够？
统计信息的收集来自 analyze 命令通过 random 方式随机采集的部分样本数据。我们将其转化为一个数学问题就是：给定一个常量数组可以分析出来哪些数据特征？找规律哈。
用最朴素的数学知识能想到的是：
是不是空数组
是不是常量数组
是不是唯一无重复
是不是有序
是不是单调的，等差，等比
出现次数最多的数字有哪些
数据的分布规律（打点方式描绘数据增长趋势）
还有吗？这是一个值得不断思考的问题。
如何依据统计信息估算查询代价
统计信息是不准确的，不可靠的，两个原因：
统计信息只来自部分采样数据，不能精准描述全局特征。
统计信息是历史数据，实际数据随时可能在变化。
如何设计一个数学模型，利用不可靠的统计信息，尽可能准确的估算查询代价，是一个很有意思的事情。接下来我们通过一个个的具体例子来介绍。
主要内容来自以下链接，我们主要对其进行详细的解读。
https://www.postgresql.org/docs/14/planner-stats-details.html
https://www.postgresql.org/docs/14/using-explain.html
最简单的表的行数估算（使用 relpages 和 reltuples）
SELECT relpages, reltuples FROM pg_class WHERE relname = 'tenk1'; ---采样估算有358个页面，10000条元组 relpages | reltuples----------+----------- 358 | 10000
EXPLAIN SELECT * FROM tenk1; ---查询估算该表有10000条元组 QUERY PLAN------------------------------------------------------------- Seq Scan on tenk1 (cost=0.00..458.00 rows=10000 width=244)
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【思考】查询计划中估算的 rows=10000 就直接是 pg_class->reltuples 吗？
统计信息是历史数据，表的元组数在随时变化。例如：analyze 数据采样时有 10 个页面，存在 50 条元组;实际执行时有 20 个页面，可能存在多少条元组？用你最朴素的情感想一想是不是，很可能是 100 条元组对不对？
表大小的估算方法在函数 estimate_rel_size -> table_relation_estimate_size -> heapam_estimate_rel_size 中。
先通过表物理文件的大小计算实际页面数 actual_pages = file_size / BLOCKSIZE
计算页面的元组密度
a. 如果 relpages 大于 0，密度= reltuples / （double） relpages
b. 如果 relpages 为空，density = （BLCKSZ - SizeOfPageHeaderData） / tuple_width， 页面大小 / 元组宽度。
估算表元组个数 = 页面元组密度 * 实际页面数 = density * actual_pages
所以，估算 rows 的 10000 = （10000 / 358） * 358，历史页面密度 * 新的页面数，以推算当前元组数。
最简单的范围比较(使用直方图)
SELECT histogram_bounds FROM pg_stats WHERE tablename='tenk1' AND attname='unique1'; histogram_bounds------------------------------------------------------ {0,993,1997,3050,4040,5036,5957,7057,8029,9016,9995}
EXPLAIN SELECT * FROM tenk1 WHERE unique1 < 1000; ---估算小于1000的有1007条 QUERY PLAN-------------------------------------------------------------------------------- Bitmap Heap Scan on tenk1 (cost=24.06..394.64 rows=1007 width=244) Recheck Cond: (unique1 < 1000) -> Bitmap Index Scan on tenk1_unique1 (cost=0.00..23.80 rows=1007 width=0) Index Cond: (unique1 < 1000)
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查询引擎在查询语法树的 WHERE 子句中识别出比较条件，再到 pg_operator 中根据操作符和数据类型找到 oprrest 为 scalarltsel，这是通用的标量数据类型的操作小于符的代价估算函数。最终是在 scalarineqsel -> ineq_histogram_selectivity 中进行直方图代价估算。
在 PG 中采用的是等高直方图，也叫等频直方图。将样本范围划分成 N 等份的若干个子区间，取所有子区间的边界值，构成直方图。
使用：使用时认为子区间（也叫桶）内的值是线性单调分布的，也认为直方图的覆盖范围就是整个数据列的范围。因此，只需计算出在直方图中的占比，既是总体中的占比。
【思考】以上的两点假设靠谱吗？有没有更合理的办法？
选择率 = (前面桶的总数 + 目标值在当前桶中的范围 / 当前桶的区间范围) / 桶的总数selectivity = (1 + (1000 - bucket[2].min) / (bucket[2].max - bucket[2].min)) / num_buckets = (1 + (1000 - 993) / (1997 - 993)) / 10 = 0.100697估算元组数 = 基表元组数 * 条件选择率rows = rel_cardinality * selectivity = 10000 * 0.100697 = 1007 (rounding off)
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最简单的等值比较（使用 MCV）
SELECT null_frac, n_distinct, most_common_vals, most_common_freqs FROM pg_stats WHERE tablename='tenk1' AND attname='stringu1';null_frac | 0n_distinct | 676most_common_vals | {EJAAAA,BBAAAA,CRAAAA,FCAAAA,FEAAAA,GSAAAA,JOAAAA,MCAAAA,NAAAAA,WGAAAA}most_common_freqs | {0.00333333,0.003,0.003,0.003,0.003,0.003,0.003,0.003,0.003,0.003}
EXPLAIN SELECT * FROM tenk1 WHERE stringu1 = 'CRAAAA'; --- QUERY PLAN---------------------------------------------------------- Seq Scan on tenk1 (cost=0.00..483.00 rows=30 width=244) Filter: (stringu1 = 'CRAAAA'::name)
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查询引擎在查询语法树的 WHERE 子句中识别出比较条件，再到 pg_operator 中根据操作符和数据类型找到 oprrest 为 eqsel，这是通用的等值比较操作符的代价估算函数。最终是在 eqsel_internal -> var_eq_const 中进行 MCV 代价估算。
MCV 是在样本中选取重复次数最多的前 100 个组成，并计算每个值在样本中的占比。使用时，就简单的认为这个占比就是在全局中的占比。
【思考】将样本中占比就这样简单的认为是在全局中的占比，这样合理吗？有没有更好的办法？
CRAAAA位于MCV中的第3项，占比是0.003selectivity = mcf[3] = 0.003rows = 10000 * 0.003 = 30
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接下来，我们在看一个不在 MCV 中的等值比较。
EXPLAIN SELECT * FROM tenk1 WHERE stringu1 = 'xxx'; ---查找不存在于MCV中的值 QUERY PLAN---------------------------------------------------------- Seq Scan on tenk1 (cost=0.00..483.00 rows=15 width=244) Filter: (stringu1 = 'xxx'::name)
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通常 MCV 用于等值比较，直方图用于范围比较。“不存在于 MCV 中的值”，认为它们共享“不存在于 MCV 中的概率”，即：选择率 = （1 - MCV 概率总和） / （不在 MCV 中的值的 distinct 个数）。
【思考】这样判断不在 MCV 中的方法合理吗？有没有更好的方法？
selectivity = (1 - sum(mvf)) / (num_distinct - num_mcv) = (1 - (0.00333333 + 0.003 + 0.003 + 0.003 + 0.003 + 0.003 + 0.003 + 0.003 + 0.003 + 0.003)) / (676 - 10) = 0.0014559rows = 10000 * 0.0014559 = 15 (rounding off)
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复杂一点的范围比较（同时使用 MCV 和直方图）
前面 unique < 1000 的例子，在 scalarineqsel 函数中只利用到了直方图，是因为 unique 列没有重复值，也就不存在 MCV。下面我们用一个不是 unique 的普通列再看一下范围比较。
这个范围包括两部分，重复次数比较多的值（在 MCV 中） 和 重复次数比较少的值（覆盖在直方图里），又由于计算直方图时去掉了 MCV 的值，因此 MCV 和直方图互相独立可以联合使用。
SELECT null_frac, n_distinct, most_common_vals, most_common_freqs FROM pg_stats WHERE tablename='tenk1' AND attname='stringu1';null_frac | 0n_distinct | 676most_common_vals | {EJAAAA,BBAAAA,CRAAAA,FCAAAA,FEAAAA,GSAAAA,JOAAAA,MCAAAA,NAAAAA,WGAAAA}most_common_freqs | {0.00333333,0.003,0.003,0.003,0.003,0.003,0.003,0.003,0.003,0.003}
SELECT histogram_bounds FROM pg_stats WHERE tablename='tenk1' AND attname='stringu1'; histogram_bounds-------------------------------------------------------------------------------- {AAAAAA,CQAAAA,FRAAAA,IBAAAA,KRAAAA,NFAAAA,PSAAAA,SGAAAA,VAAAAA,XLAAAA,ZZAAAA}
EXPLAIN SELECT * FROM tenk1 WHERE stringu1 < 'IAAAAA'; ---查找一个不存在于MCV中的值 QUERY PLAN------------------------------------------------------------ Seq Scan on tenk1 (cost=0.00..483.00 rows=3077 width=244) Filter: (stringu1 < 'IAAAAA'::name)
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小于 IAAAAA 的值在 MCV 中有前 6 个，因此把它们的 frac 累加起来，就是小于 IAAAAA 且重复次数较多的人的概率
selectivity = sum(relevant mvfs) = 0.00333333 + 0.003 + 0.003 + 0.003 + 0.003 + 0.003 = 0.01833333
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还有一部分小于 IAAAAA 但重复次数较少的人的概率 可以通过直方图进行范围计算。前面使用 unique1 列进行等值比较时，因为 unique 约束列不存在 MCV，只有直方图。因此，只计算在直方图中桶的覆盖占比就是选择率了。这里还要考虑落在 直方图中值的整体占比 histogram_fraction = 1 - sum（mcv_frac），直方图桶的覆盖占比 * 整个直方图整体占比就是在直方图中的选择率了。
selectivity = mcv_selectivity + histogram_selectivity * histogram_fraction = 0.01833333 + ((2 + ('IAAAAA'-'FRAAAA')/('IBAAAA'-'FRAAAA')) / 10) * (1 - sum(mvfs)) = 0.01833333 + 0.298387 * 0.96966667 = 0.307669
rows = 10000 * 0.307669 = 3077 (rounding off)复制
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【思考】在这个特殊的例子中，从 MCV 中计算出来的选择率为 0.01833333，远小于从直方图中计算出来的选择率 0.28933593，是因为该列中数值分布的太平缓了（统计信息显示 MCV 中的这些值出现的频率比其他值要高，这可能是因为采样导致的错误）。在大多数存在明显重复值多的场景下，从 MCV 中计算出的选择率会比较明显，因为重复值的出现概率是比较准确的。
多条件联合查询的例子
EXPLAIN SELECT * FROM tenk1 WHERE unique1 < 1000 AND stringu1 = 'xxx'; QUERY PLAN-------------------------------------------------------------------------------- Bitmap Heap Scan on tenk1 (cost=23.80..396.91 rows=1 width=244) Recheck Cond: (unique1 < 1000) Filter: (stringu1 = 'xxx'::name) -> Bitmap Index Scan on tenk1_unique1 (cost=0.00..23.80 rows=1007 width=0) Index Cond: (unique1 < 1000)
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多条件的选择率计算其实也很简单，就按条件本身的逻辑运算来。
两个条件是与的关系，属于互相独立事件，就相乘就可以了。
selectivity = selectivity(unique1 < 1000) * selectivity(stringu1 = 'xxx') = 0.100697 * 0.0014559 = 0.0001466
rows = 10000 * 0.0001466 = 1 (rounding off)
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一个使用 JOIN 的例子
EXPLAIN SELECT * FROM tenk1 t1, tenk2 t2WHERE t1.unique1 < 50 AND t1.unique2 = t2.unique2; QUERY PLAN-------------------------------------------------------------------------------------- Nested Loop (cost=4.64..456.23 rows=50 width=488) -> Bitmap Heap Scan on tenk1 t1 (cost=4.64..142.17 rows=50 width=244) Recheck Cond: (unique1 < 50) -> Bitmap Index Scan on tenk1_unique1 (cost=0.00..4.63 rows=50 width=0) Index Cond: (unique1 < 50) -> Index Scan using tenk2_unique2 on tenk2 t2 (cost=0.00..6.27 rows=1 width=244) Index Cond: (unique2 = t1.unique2)
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unique1 < 50 这个约束在 nested-loop join 之前被执行，还是使用直方图计算，类似前面的简单范围查找的例子，只不过这次 50 落在第一个桶中。
selectivity = (0 + (50 - bucket[1].min)/(bucket[1].max - bucket[1].min))/num_buckets = (0 + (50 - 0)/(993 - 0))/10 = 0.005035
rows = 10000 * 0.005035 = 50 (rounding off)
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JOIN 约束 t1.unique2 = t2.unique2 的选择率估算，还是先到 pg_operator 中查找“等于”操作符的 oprjoin，是 eqjoinsel。JOIN 的话，两边的统计信息都要参考。
SELECT tablename, null_frac,n_distinct, most_common_vals FROM pg_statsWHERE tablename IN ('tenk1', 'tenk2') AND attname='unique2';
tablename | null_frac | n_distinct | most_common_vals-----------+-----------+------------+------------------ tenk1 | 0 | -1 | tenk2 | 0 | -1 |
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对于 unique 列没有 MCV，所以这里我们只能依赖 distinct 和 nullfrac 来计算选择率。
【*】选择率 = 两边的非空概率相乘，再除以最大JOIN条数。selectivity = (1 - null_frac1) * (1 - null_frac2) * min(1/num_distinct1, 1/num_distinct2) = (1 - 0) * (1 - 0) / max(10000, 10000) = 0.0001【*】JOIN的函数估算就是两边输入数量的笛卡尔积，再乘以选择率rows = (outer_cardinality * inner_cardinality) * selectivity = (50 * 10000) * 0.0001 = 50
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如果存在 MCV，则分成两部分计算选择率：在 MCV 中的部分和不在 MCV 中的部分。
更详细的信息
表大小的估算：src/backend/optimizer/util/plancat.c
一般逻辑子句的选择率估算：src/backend/optimizer/path/clausesel.c
操作符函数的选择率估算：src/backend/utils/adt/selfuncs.c.
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