头脑风暴：回文子串

题目

给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

示例 1：

输入："abc" 输出：3 解释：三个回文子串: "a", "b", "c"

示例 2：

输入："aaa" 输出：6 解释：6 个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

提示：

输入的字符串长度不会超过 1000 。

解题思路

根据题意，本题可使用动态规划的方式来求解。

第一步，确定 dp 数组以及下标的含义：dp[i][j]：表示区间范围[i,j] 的子串是否是回文子串，如果是 dp[i][j]为 true，否则为 false。

第二步，确定递推公式：当 s[i]与 s[j]不相等，dp[i][j]一定是 false。当 s[i]与 s[j]相等时，有如下三种情况：

• 下标 i 与 j 相同，同一个字符例如 a，当然是回文子串

• 下标 i 与 j 相差为 1，例如 aa，也是回文子串

• 下标 i 与 j 相差大于 1 的时候，例如 cabac，此时 s[i]与 s[j]已经相同了，我们看 i 到 j 区间是不是回文子串就看 aba 是不是回文就可以了，那么 aba 的区间就是 i+1 与 j-1 区间，这个区间是不是回文就看 dp[i + 1][j - 1]是否为 true。

第三步，dp 数组初始化：dp[i][j]初始化为 false。

第四步，确定遍历顺序：一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证 dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

代码实现

class Solution {public:    int countSubstrings(string s) {        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));        int result = 0;        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序            for (int j = i; j < s.size(); j++) {                if (s[i] == s[j]) {                    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二                        result++;                        dp[i][j] = true;                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三                        result++;                        dp[i][j] = true;                    }                }            }        }        return result;    }};

最后

• 时间复杂度：O(n^2)

• 空间复杂度：O(n^2)