​​​​摘要：平时练习算法题学习算法知识时，经常会发现题解里写着“动态规划”，里面一上来就是一个复杂的 dp 公式，对于新人来说除了说声“妙啊”，剩下就是疑惑，他是怎么想到这个公式的？我能想到吗？这玩意工作中有用吗？

本文分享自华为云社区《动态规划究竟是怎么想到的？【奔跑吧！JAVA】》，原文作者：breakDraw。

平时练习算法题学习算法知识时，经常会发现题解里写着“动态规划”，里面一上来就是一个复杂的 dp 公式，对于新人来说除了说声

​剩下就是疑惑，他是怎么想到这个公式的？我能想到吗？这玩意工作中有用吗？加上“动态规划”这高端的名字，然后就劝退了不少试图去理解他的人。

​

动态规划听起来太吓人，可以换个说法

我在内心更喜欢叫他“状态缓存”如果是服务开发，相信很熟悉这个词语， 利用缓存来加快一些重复的请求的响应速度。而这个缓存的特点是 和其他缓存有所关联。

比如我们的服务要计算 7 天内的某金钱总和，计算后要缓存一下。后来又收到一个请求，要计算 8 天内的金钱总和那我们只需要取之前算过的 7 天内的金钱综合，加上第 8 天的金钱就行了。

1+4 的思考套路

自己针对动态规划总结了一个自己的思考套路，我叫他 1 组例子 4 个问题，就叫 1+4 好了，通过这 5 个过程，可以站在普通人的角度（就是非 acm 大佬那种的角度），去理解动态规划是如何被思考出来的

• 在超时的思路上写出一组计算过程的例子

• 在超时例子的基础上，有哪些重复、浪费的地方？

• 如何定义 dp 数组

• 状态的变化方向是什么，是怎么变化的

• 边界状态是什么

简单例子

以一道简单题为例：爬楼梯：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/

​这时候就要静下心，观察这个解法的例子中是否有重复经历的场景，而这个重复经历的场景就叫状态。我处理动态规划的题目时， 都会问自己 3 个问题，一般就能顺利地解决。

①在超时的思路上写出一组计算过程的例子

如果我们考虑最简单的解法，  就是从起点开始，每次选择走 1 步或者走 2 步，看下能否走到终点，能走到则方法数+1。但这种方法注定超时（O（n^2)）但我还是照着这个过程模拟了一下，随便列了几个 1 ->2-> 3-> 4-> 51 ->2 ->3-> 51->3->4->51->3->5

②在超时例子的基础上，有哪些重复、浪费的地方？

在上面，我发现了重复的地方

​也就是说，从 3 到 5 总共就 2 种路线，已经在 1->2 之后计算过了，我后面从 1 走到 3 再往后走时，没必要再去算了。换言之，当我走到 3 的时候，其实早就可以知道后面还剩下多少种走法。发现重复的地方后，就可以开始建立 dp 公式了。

③如何定义 dp 数组？

定义 dp 数组，也就是定义上面提到的重复的地方。重新看下之前的那句话当我走到 3 的时候，其实早就可以知道后面还剩下多少种走法。所以 dp[3]代表的就是从 3 往后，有多少种可走的方法。

④状态的变化方向是什么，是怎么变化的

• 首先思考状态的变化方向

重新看这句话：

当我走到 3 的时候，其实早就可以知道后面还剩下多少种走法

说明结果取决于往 后面 的状态因此我们要先计算后面的状态, 即从后往前算

• 接着思考这个后面的状态和当前的状态有什么联系，是怎么变化的

这个一般都包含在题目条件中

根据题意，要么走 2 步，要么走 1 步，因此每当我走到一层时，下一次就 2 种状态可以变化。那么对于第 3 层而言，他后续有 2 种走法，走 1 步或者走 2 步那么他的情况就是 dp[3] = dp[3+1] + dp{3+2}如果层数设为 i，那么这个变化情况就是 dp[i] = dp[i+1] + dp[i+2]

⑤边界状态是什么？

边界状态就是不需要依赖后面的状态了，直接可以得到结果的状态。在这里肯定就是最后一层 dp[n]， 最后一层默认是一种走法。dp[n]=1

实现

根据上面的过程，自己便定义了这个状态和变化

• 定义：dp[i] :  代表从第 i 层往后，有多少种走法

• 方向和变化：dp[i] =  dp[i+1] + dp[i+2];

• 边界:  dp[n] = 1

根据这个写代码就很容易了代码：

public int climbStairs(int n) {        int[] dp = new int[n + 1];        dp[n] = 1;        dp[n-1] = 1;        for(int i = n-2; i >=0;i--) {            dp[i] = dp[i+1] + dp[i+2];        }        return dp[0];    }

进阶版，二维的动态规划

https://leetcode-cn.com/problems/number-of-ways-to-stay-in-the-same-place-after-some-steps/

①在超时的思路上写出一组计算过程的例子

超时的思路肯定是像搜索一样模拟所有的行走过程。先假设 1 个 steps=5, arrlen=3 的情况随便先列几个。模拟一下不断走的位置。数字指的是当前位置。0->1->2->1->0->00->1->2->1->1->00->1->1->1->1->00->1->1->1->0->00->0->1->1->1->0……

②在超时例子的基础上，有哪些重复、浪费的地方？

0->1->2->1->0->00->1->2->1->1->00->1->1->1->1->00->1->1->1->0->00->0->1->1->1->00->0->1->1->0->0 我发现这部分标粗的部分重复了，换句话说

当我还剩 2 步且当前位置为 1 的时候，后面还有多少种走法，其实早就知道了。

③如何定义 dp 数组？

重新看这句话：

当我还剩 2 步且当前位置为 1 的时候，后面还有多少种走法，其实早就知道了。

涉及了 2 个关键因素: 剩余步数和当前值，所以得用二维数组

因此 dp[realstep][index]就代表了 剩余步数为 step 且位置为 index 时，后续还剩多少种走法。

④状态的变化方向是什么，是怎么变化的

• 先思考变化方向

“当我还剩 2 步且当前位置为 1 的时候，后面 还有多少种走法，其实早就知道了。”

这个后面是指啥， 后面会怎么变?

后面肯定是步数越来越少的情况， 并且位置会根据规律变化。所以变化方向是步数变少，位置则按照规定去变。

那么这个固定越来越少的这个“剩余步数”，就是核心的变化方向。

我们计算时，可以先计算小的剩余步数的状态， 再去算大的剩余步数。

• 如何变化

根据题意和方向，剩余步数肯定-1，  然后位置有 3 种选择（减 1，不变，加 1）， 那么方法就是 3 种选择的相加。

dp[step][index] =dp[step-1][index-1] + dp[step-1][index] + dp[step-1][index+1]

⑤边界状态是什么？

剩余步数为 0 时，只有当前位置为 0 才是我们最终想要的方案，把值设为 1 并提供给后面用，其他位置且步数为 0 时都认为是 0。

dp[0][0] = 1；

dp[0][index] = 0；（index>0)

实现

那么最终出来了

• 定义：dp{realstep][index]:    剩余步数为 step 且位置为 index 时， 后续还剩多少种走法。

• 方向和变化：dp[step][index] = dp[step-1][index-1] +dp[step-1][index] + dp[step-1][index+1]

• 边界:  dp[0][0] = 1；

内存溢出处理

不过这题因为是困难题，所以给上面这个公式设立了一个小难度：

​

数组长度非常大，导致如果 index 的范围我们选择为 0~arrLen-1, 那么最大情况 dp[500][10^6]注定超时内存范围。

这时候就要去思考 index 设那么大是不是没必要

一般我们可以自己列这种情况的小例子，例如

step=2, arr=10

然后看下 index 有没有必要设成 0~9，随便走几步

0->1->0

0->1->0

0->0->0

嗯？我发现就 3 种情况，arr 后面那么长不用啦？

于是发现规律：

剩余的步数，必须支撑他返回原点！

也就是说，其实 index 的最大范围最多就是 step/2， 不能再多了，再多肯定回不去了。

于是问题解决。

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https://leetcode-cn.com/problems/minimum-cost-for-tickets/

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