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前言
不知道大家有没有玩过数独游戏,博主读高中的时候,数独曾经风靡一时,而数独作为一种数字逻辑游戏,其难度也不小,能不能用我们的计算机来解决数独问题呢?
用计算机解数独谜题最常用的方法是回溯法,如果大家想要更详细地了解回溯法,我觉得这篇文章比较思路清晰而容易理解: 链接: 回溯法解数独-知乎。接下来博主给大家介绍一种候选数法,供大家参考和交流。
🍍一、什么是数独游戏
数独谜题可表示为一个 9 * 9 的大九宫格,它由 9 个小的九宫格(3 * 3 格)组成。
每个谜题,81 个单元格中的一部分格子会被赋予 1 ~ 9 中的一个数字,作为已知数字,剩余的单元格空着。数独谜题的解题就是要在空的格子中填入 1 ~ 9 中的数字,要求大九宫格的每一行、每一列、每一个小九宫格都包含九个不同的数字。
我们平常的数独游戏还有两个重要的特性。第一,每个数独游戏的解唯一。第二,可以通过推理来求解,即不需要列出所有可能的情况来一一行尝试。数独谜题解题的过程,就是通过已知的数字,不断推理来确定空白单元格中该填的数字的过程。
下面是一个推理过程的例子,以下图为例,数字 4 必须在第二行的某个单元格恰好出现一次,那么它应该在哪里呢?我们观察到,4 不可能在这一行的前三个单元或后两个单元,因为 4 已经出现在这些单元所在小九宫格的其它单元中了;4 也不能在这一行的第五个单元,因为它已经出现在这一列的其它单元中了。所以,我们可以得出结论,第二行的第 6 个单元中,一定是填 4。
🍍二、候选数法
每个单元格中都有 1 ~ 9 九个可能会填的数字,我们这些数字为该单元格的候选数。于是我们可以通过已有的数字,来删除其它单元格中的一些候选数,当某个单元格中的候选数只剩下一个时,这个单元格中的数字也就确定了。
🍍三、设计程序
1、数独盘面和候选数在计算机中的表示
我们可以简单地用一个二维数组来表示一个数独的盘面,用一个三维数组来表示所有的候选数。
/*全局变量*/
//这里下标为0的位置不使用
int s[10][10]{}; //(行,列)数独的大九宫格盘面
bool p[10][10][10]{}; //(行,列,候选数字)
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如: p[1][2][3] == 1 就表示第一行第二列的数字 3 候选状态,而 p[4][5][6] == 0 则表示第四行第五列填数字 6 的可能性已经被排除了。
2、算法过程
还记得数独要满足的三条规则吗?接下来就需要它们来帮助我们解数独谜题啦!我们解一个数独谜题的过程如下:第一步:通过给定的已知数字来删除一些候选数。对于一个已知的数字,我们删除包括处于同一行、列、小九宫的相同数字候选数,和这一单元格中的所有其它候选数。
第二步:寻找只剩下一个候选数的单元格,确定该单元格中应填入的数字。第三步:通过第二步确定的数字,继续删除候选数。然后重复第二步和第三步,直到得到最终的答案。若在某次循环中,填入数字和候选数都不再发生变化,则停止循环,解该数独谜题就失败咯。
🍍四、实现(C++)
了解了候选数法解数独的原理,那么接下来就和博主一起来实现它吧!
1、运行
博主将填出的数字标上了醒目的蓝色。
2、源代码
/*包含文件*/
#include<windows.h>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
/*全局变量*/
int s[10][10]{}; //(行,列)数独的大九宫格
bool p[10][10][10]{}; //(行,列,候选数字)
/*函数声明*/
void init_p(); //初始化p,置1
void init_s(); //将s置0
void out_p(); //输出p
void in_s(); //输入数独谜题,从键盘
void out_s(); //输出s
bool exam_s(int s[][10]); //数独有效,则返回true
void change_p(); //更新p,通过扫描s
void change_s(); //更新s,通过扫描p
void init_a(int a[], int n); //将一个一维数组置0
bool exam_a(int a[], int n); //验证数组a,确定是否有数字多次出现(a记录的是数字出现的次数)
int where_small(int i); //得到小九宫格起始坐标
int num_have(); //统计s已经填出的数
void color(int k); //改变颜色输出
bool enough_s(); //s填满则返回true
/*主函数*/
int main() {
while(true) { //每次循环输入一个新的谜题进行求解
init_s();
init_p();
in_s();
clock_t start(0), finish(0);
start = clock();
int i = 0;
for(i = 0; i < 81; ++i) { //解数独
change_p();
change_s();
if(enough_s()) break; //已经得到解时,停止循环
}
finish = clock();
cout << "循环次数为:" << (i + 1) << endl;
cout << "The time is " << (finish - start) << " ms " << endl;
out_s();
system("pause");
system("cls");
}
return 0;
}
// --------------------------------------------------
/*将s矩阵重新置零*/
void init_s() {
for(int i = 1; i <= 9; ++i) {
for(int j = 1; j <= 9; ++j) {
s[i][j] = 0;
}
}
}
// --------------------------------------------------
/*
输出s矩阵*/
void out_s() {
const int c(11);
cout << "*" << num_have() << "* "; /*已经填好的数的数量*/
cout << "大九宫格:" << endl;
for(int i = 1; i <= 9; ++i) {
for(int j = 1; j <= 9; ++j) {
if(s[i][j] != 0) color(c);
cout << s[i][j] << " ";
color(15); //白色
}
cout << endl;
}
}
// --------------------------------------------------
/*
前置:在大九宫格的行,或列i
功能:由一个数字在大九宫格的位置,得到该数字所在的小九宫格的起始位置
后置:i不变
返回:数字所在小九宫格的起始位置的行,或列*/
int where_small(int i) {
if(i <= 3) return 1;
if(i <= 6) return 4;
if(i <= 9) return 7;
}
// --------------------------------------------------
/*
前置:一维数组a
功能:测试数组a
后置:数组不变
返回:a数组发现无效则返回false;否则返回true*/
bool exam_a(int a[], int n) {
for(int i = 1; i < n; ++i) {
if(a[i] > 1) {
return false;
}
}
return true;
}
// --------------------------------------------------
/*
前置:一维数组
后置:一维数组所有元素值为0*/
void init_a(int a[], int n) {
for(int i = 0; i < n; ++i) {
a[i] = 0;
}
}
// --------------------------------------------------
/*
前置:p数组,s数组
功能:扫描p,在s写入已经可以确定的数字
原理:大九宫格的每一行,列,小九宫格都恰好包含1~9
后置:p不变,s部分由0变为填入的数字*/
void change_s() {
for(int i = 1; i <= 9; ++i) { //i迭代p中9个数值矩阵
for(int j = 1; j <= 9; ++j) { //行列扫描一起
int count_h(0), count_l(0); //行,列扫描中1的个数
int m_h(0), n_h(0); //(m,n)为1所在坐标
int m_l(0), n_l(0);
for(int k = 1; k <= 9; ++k) {
if(p[j][k][i] == 1) { //一行
count_h++;
m_h = j; n_h = k;
}
if(p[k][j][i] == 1) { //一列
count_l++;
m_l = k; n_l = j;
}
}
/*更新s*/
if(count_h == 1)
s[m_h][n_h] = i;
if(count_l == 1)
s[m_l][n_l] = i;
}
for(int j = 1; j <= 9; j += 3) { //(j,k)定位9个小九宫的起始格(左上角)
for(int k = 1; k <= 9; k += 3) {
int count(0);
int m(0), n(0);
for(int u = j; u <= j + 2; ++u) { //(u,v)迭代扫描一个小九宫
for(int v = k; v <= k + 2; ++v) {
if(p[u][v][i] == 1) {
count++;
m = u; n = v;
}
}
}
/*更新s*/
if(count == 1) {
s[m][n] = i;
}
}
}
}
}
// --------------------------------------------------
/*
前置:p数组,s数组
功能:通过s数组的每个已知数字,调整p数组的值
后置:p部分由1变为0,s不变*/
void change_p() {
/*p中代表数值s[i][j]的矩阵*/
for(int i = 1; i <= 9; ++i) {
for(int j = 1; j <= 9; ++j) {
/*更新p的数值矩阵的行,列*/
for(int k = 1; k <= 9; ++k) {
if(k != j)
p[i][k][s[i][j]] = 0;
if(k != i)
p[k][j][s[i][j]] = 0;
}
/*更新p的对应数字的小九宫格*/
int m = where_small(i); /*行*/
int n = where_small(j); /*列*/
for(int k = m; k <= m + 2; ++k) {
for(int l = n; l <= n + 2; ++l) {
if(k == i && l == j);
else p[k][l][s[i][j]] = 0;
}
}
/*更新p的所有数字矩阵的对应位置*/
for(int k = 1; k <= 9; ++k) {
if(s[i][j] != 0 && s[i][j] != k)
p[i][j][k] = 0;
}
}
}
}
// --------------------------------------------------
/*
测试一个数独是否有效*/
bool exam_s(int s[][10]) {
int a[10]{};
/*每行没有重复数字*/
for(int i = 1; i <= 9; ++i) {
init_a(a, 9);
for(int j = 1; j <= 9; ++j) {
a[s[i][j]] = 1;
}
if(exam_a(a, 9) == false)
return false;
}
/*每列没有重复数字*/
for(int i = 1; i <= 9; ++i) {
init_a(a, 9);
for(int j = 1; j <= 9; ++j) {
a[s[j][i]] = 1; /*i,j改成了j,i*/
}
if(exam_a(a, 9) == false)
return false;
}
/*
每个小九宫格没有重复数字
定位小九宫格开始的位置*/
for(int i = 1; i <= 9; i += 3) {
for(int j = 1; j <= 9; j +=3) {
init_a(a, 9);
/*处理一个小九宫格*/
for(int k = i; k <= i + 2; ++k) {
for(int l = j; l <= j + 2; ++l) {
a[s[k][l]] = 1;
}
}
if(exam_a(a, 9) == false)
return false;
}
}
return true; /*没发现问题,就说明没有问题咯*/
}
// --------------------------------------------------
/*
输出九个矩阵,每个矩阵代表一个值在九行九列的可能情况*/
void out_p() {
for(int i(1); i <= 9; i += 3) {
cout << "矩阵" << i << ":";
cout << " " << " "; /*10 + 8格*/
cout << "矩阵" << i + 1 << ":";
cout << " " << " ";
cout << "矩阵" << i + 2 << ":" << endl;
for(int j(1); j <= 9; ++j) {
for(int k(1); k <= 9; ++k) {
cout << p[j][k][i] << " ";
}
cout << " "; /*7格*/
for(int k(1); k <= 9; ++k) {
cout << p[j][k][i + 1] << " ";
}
cout << " ";
for(int k(1); k <= 9; ++k) {
cout << p[j][k][i + 2] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;
}
}
// --------------------------------------------------
/*
从键盘输入数独已知方阵信息*/
void in_s() {
cout << "请输入数独题(9*9的矩阵,未知数字用0):" << endl;
for(int i(1); i <= 9; ++i) {
for(int j(1); j <= 9; ++j) {
cin >> s[i][j];
}
}
cout << "*" << num_have() << "*" << endl;
cout << "输入大九宫格完成!" << endl;
}
// --------------------------------------------------
/*
前置:p中所有单元的值为0
后置:p中行、列、数字值从1到9的共729个单元的值为1,其余单元为0*/
void init_p() {
for(int i = 1; i <= 9; ++i) {
for(int j = 1; j <= 9; ++j) {
for(int k = 1; k <= 9; ++k) {
p[i][j][k] = 1;
}
}
}
}
// --------------------------------------------------
/*(done)
统计s已经填出的数*/
int num_have() {
int count(0);
for(int i = 1; i <= 9; ++i) {
for(int j = 1; j <= 9; ++j) {
if(s[i][j] > 0)
count++;
}
}
return count;
}
// --------------------------------------------------
void color(int k) { // 改变颜色输出
SetConsoleTextAttribute(GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE), k);
}
// --------------------------------------------------
bool enough_s() { //s填满返回true
if(num_have() < 81) return false;
return true;
}
复制代码
🍍五、算法分析
候选数法解数独谜题的效率确实很高,当得起“高效”而字,基本上可以在==1ms==内就得到解。但可能有的小伙伴已经发现了问题,“博主,你怎么证明你的算法一定能够得到一个数独谜题的解?”确实,在博主对程序的测试中发现,有一些数独谜题该算法是无法得到解的,这也让博主感到十分遗憾。
🍍六、总结
虽然该算法的能力有点弱哈,但博主感觉这也是对自己生活中问题的一次有趣的尝试呀。从一开始,用候选数法得到数独谜题的解就只是一个猜想。看到它确实能够解决一部分的数独问题,博主已经挺开心啦!
数独题库:尤怪之家数独挑战馆出题菜单里面的数独题非常丰富哦!有兴趣的小伙伴可以看一看。
附录(测试数据)
直接复制到程序运行框可能行末会缺少换行,可以先复制到记事本。
0 0 9 0 2 0 0 3 40 7 0 0 0 8 0 0 66 0 0 5 0 0 0 0 00 0 3 9 0 0 0 8 07 0 0 0 4 0 0 0 20 5 0 0 0 2 7 0 00 0 0 0 0 1 0 0 72 0 0 3 0 0 0 9 04 8 0 0 6 0 5 0 0
0 0 0 0 0 7 3 0 82 0 0 0 0 0 0 0 70 9 7 8 0 5 6 0 00 7 0 1 0 0 9 0 60 0 5 9 0 3 7 0 09 0 1 0 0 8 0 3 00 0 2 3 0 4 5 6 08 0 0 0 0 0 0 0 15 0 4 2 0 0 0 0 0
1 0 0 0 4 0 0 0 70 5 0 0 0 2 0 9 00 0 8 0 0 0 4 0 00 7 0 2 0 0 0 0 80 0 6 0 9 0 1 0 03 0 0 0 0 8 0 5 00 0 1 0 0 0 6 0 00 2 0 8 0 0 0 4 06 0 0 0 3 0 0 0 5
8 5 0 0 0 0 2 0 00 6 0 0 0 0 0 1 00 0 1 0 0 0 4 3 70 0 0 3 0 2 0 0 00 0 5 0 8 0 9 0 00 0 0 7 0 1 0 0 05 8 6 0 0 0 3 0 00 2 0 0 0 0 0 5 00 0 7 0 0 0 0 4 6
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下一篇中做了一些改进:【数独 2】候选数法解数独谜题-挖掘更深的信息-C++实现
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