周末来学集合论
集合论是数学的一个分支,研究集合、它们的运算和它们的性质。
集合由不重复的项组成。
基本符号
运算符
并运算符,
∪
,表示“或”;交运算符,
∩
,表示“且”;差运算符,
\
,表示“不包括”;补运算符,
'
,表示补集;叉积运算符,
×
,表示笛卡尔积。
限定词
冒号限定词,
:
,表示“使得”;从属限定词,
∈
,表示“属于”;子集限定词,
⊆
,表示“是……的子集”;真子集限定词,
⊂
,表示“是……的真子集”。
重要的集合
∅
,空集,即不包含任何元素的集合;ℕ
,自然数集;ℤ
,整数集;ℚ
,有理数集;ℝ
,实数集。
关于以上集合,有如下几点需要注意: 1. 空集是其本身的子集(并且也是任何其他集合的子集),即便空集不包含任何项; 2. 数学家们对于零是否为自然数的看法通常并不统一,教科书一般会明确说明作者是否认为零是自然数。
基数
集合的基数,或者说大小,由该集合中的项目数量决定。基数运算符为 |...|
。
例如,若 S = { 1, 2, 4 }
,则 |S| = 3
。
空集
可以在集合符号中使用不成立的条件来构造空集,例如,
∅ = { x : x ≠ x }
,或∅ = { x : x ∈ N, x < 0 }
;空集总是唯一的(即,有且只有一个空集);
空集是所有集合的子集;
空集的基数为 0,即
|∅| = 0
。
集合的表示
集合的逐项构造
集合可以通过包含其全部项的列表逐项生成。例如,S = { a, b, c, d }
。
只要构成集合的项清楚,长列表可以用省略号缩短。例如,E = { 2, 4, 6, 8, ... }
显然为所有偶数构成的集合,它包含无穷多项,虽然我们只显式写出了其中四项。
集合构造器
集合构造器符号是构造集合的一种更具描述性的方式。它依赖于一个主语和一个谓词,使得 S = { 主语 : 谓词 }
。 例如,
有时,谓词可能会 “漏 "到主语中,例如,
关系
从属关系
如果值
a
包含在集合A
中,那么我们说a
属于A
,并用符号表示为a ∈ A
。如果值
a
不包含于集合A
中,那么我们说a
不属于A
,并用符号表示为a ∉ A
。
相等关系
如果两个集合包括相同的项,那么我们说这两个集合相等,例如,
A = B
。集合的相等关系于顺序无关,例如
{ 1, 2, 3, 4 } = { 2, 3, 1, 4 }
。集合中的元素不能重复,例如
{ 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2 } = { 1, 2, 3, 4 }
。集合
A
与B
相等当且仅当A ⊆ B
且B ⊆ A
。
特殊集合
幂集
令
A
为任意集合。幂集指的是包括了A
的所有子集的集合,记作P(A)
。如果集合A
由2n
个元素组成,那么P(A)
中有2^n
个元素。
两个集合的运算
并
给定集合 A
和 B
,两个集合的并由出现在 A
或 B
中的项构成,记作 A ∪ B
。
交
给定集合 A
和 B
,两个集合的交由出现在 A
和 B
中的项构成,记作 A ∩ B
。
差
给定集合 A
和 B
,A
对于 B
的集合差指的是属于 A
但不属于 B
的每一项。
对称差
给定集合 A
和 B
,对称差指的是属于 A
或 B
但不属于它们交集的所有项。
笛卡尔积
给定集合 A
和 B
,A
和 B
的笛卡尔积由 A
和 B
的项的所有组合构成。
版权声明: 本文为 InfoQ 作者【坚果】的原创文章。
原文链接:【http://xie.infoq.cn/article/4d8bd1a8e076d6c97d4422e0d】。文章转载请联系作者。
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