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周末来学集合论

作者:坚果
  • 2022 年 6 月 19 日
  • 本文字数:1374 字

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集合论是数学的一个分支,研究集合、它们的运算和它们的性质。


  • 集合由不重复的项组成。

基本符号

运算符

  • 并运算符,,表示“或”;

  • 交运算符,,表示“且”;

  • 差运算符,\,表示“不包括”;

  • 补运算符,',表示补集;

  • 叉积运算符,×,表示笛卡尔积。

限定词

  • 冒号限定词,:,表示“使得”;

  • 从属限定词,,表示“属于”;

  • 子集限定词,,表示“是……的子集”;

  • 真子集限定词,,表示“是……的真子集”。

重要的集合

  • ,空集,即不包含任何元素的集合;

  • ,自然数集;

  • ,整数集;

  • ,有理数集;

  • ,实数集。


关于以上集合,有如下几点需要注意: 1. 空集是其本身的子集(并且也是任何其他集合的子集),即便空集不包含任何项; 2. 数学家们对于零是否为自然数的看法通常并不统一,教科书一般会明确说明作者是否认为零是自然数。

基数

集合的基数,或者说大小,由该集合中的项目数量决定。基数运算符为 |...|


例如,若 S = { 1, 2, 4 },则 |S| = 3

空集

  • 可以在集合符号中使用不成立的条件来构造空集,例如,∅ = { x : x ≠ x },或 ∅ = { x : x ∈ N, x < 0 }

  • 空集总是唯一的(即,有且只有一个空集);

  • 空集是所有集合的子集;

  • 空集的基数为 0,即 |∅| = 0

集合的表示

集合的逐项构造

集合可以通过包含其全部项的列表逐项生成。例如,S = { a, b, c, d }


只要构成集合的项清楚,长列表可以用省略号缩短。例如,E = { 2, 4, 6, 8, ... } 显然为所有偶数构成的集合,它包含无穷多项,虽然我们只显式写出了其中四项。

集合构造器

集合构造器符号是构造集合的一种更具描述性的方式。它依赖于一个主语和一个谓词,使得 S = { 主语 : 谓词 }。 例如,


A = { x : x 是元音字母 } = { a, e, i, o, u, y}B = { x : x ∈ N, x < 10 } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }C = { x : x = 2k, k ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }
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有时,谓词可能会 “漏 "到主语中,例如,


D = { 2x : x ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }
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关系

从属关系

  • 如果值 a 包含在集合 A 中,那么我们说 a 属于 A,并用符号表示为 a ∈ A

  • 如果值 a 不包含于集合 A 中,那么我们说 a 不属于 A,并用符号表示为 a ∉ A

相等关系

  • 如果两个集合包括相同的项,那么我们说这两个集合相等,例如,A = B

  • 集合的相等关系于顺序无关,例如 { 1, 2, 3, 4 } = { 2, 3, 1, 4 }

  • 集合中的元素不能重复,例如 { 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2 } = { 1, 2, 3, 4 }

  • 集合 AB 相等当且仅当 A ⊆ BB ⊆ A

特殊集合

幂集

  • A 为任意集合。幂集指的是包括了 A 的所有子集的集合,记作 P(A)。如果集合 A2n 个元素组成,那么 P(A) 中有 2^n 个元素。


P(A) = { x : x ⊆ A }
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两个集合的运算

给定集合 AB,两个集合的并由出现在 AB 中的项构成,记作 A ∪ B


A ∪ B = { x : x ∈ A ∪ x ∈ B }
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给定集合 AB,两个集合的交由出现在 AB 中的项构成,记作 A ∩ B


A ∩ B = { x : x ∈ A, x ∈ B }
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给定集合 ABA 对于 B 的集合差指的是属于 A 但不属于 B 的每一项。


A \ B = { x : x ∈ A, x ∉ B }
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对称差

给定集合 AB,对称差指的是属于 AB 但不属于它们交集的所有项。


A △ B = { x : ((x ∈ A) ∩ (x ∉ B)) ∪ ((x ∈ B) ∩ (x ∉ A)) }
A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A)
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笛卡尔积

给定集合 ABAB 的笛卡尔积由 AB 的项的所有组合构成。


A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B }
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此间若无火炬,我便是唯一的光 2020.10.25 加入

公众号:“大前端之旅”,华为云享专家,InfoQ签约作者,51CTO博客首席体验官,专注于大前端技术的分享,包括Flutter,小程序,安卓,VUE,JavaScript。

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