4 步套路，解决动态规划问题

1、确定问题状态

• 提炼最后一步

• 的问题转化

2、转移方程，把问题方程化 3、按照实际逻辑设置初始条件和边界情况 4、确定计算顺序并求解

结合实例感受下：

你有三种硬币，分别面值 2 元，5 元和 7 元，每种硬币都有足够多。买一本书需要 27 元。如何用最少的硬币组合正好付清，不需要对方找钱？

关键词“用最小的硬币组合正好付清”——“最小的组合”，求最值问题，动态规划。

**正常人第一反应思路:**最少硬币组合?优先使用大面值硬币——7+7+7+5=26 额？可求解目标是 27 啊……改算法——7+7+7+2+2+2=27，总共用了 6 枚硬币正好 27 元.实际正确答案：7+5+5+5+5=27，才用了 5 枚硬币。所以这里贪心算法是不正确的。

套路用起来：

第一步，确定问题状态。

动态规划问题求解需要先开一个数组，并确定数组的每个元素 f[i]代表什么，就是确定这个问题的状态。类似于解数学题中，设定 X，Y，Z 代表什么。

A、确定状态首先提取【最后一步】

最优策略必定是 K 枚硬币 a1, a2,…, aK 面值加起来是 27。

找出不影响最优策略的最后一个独立角色，这道问题中，那枚最后的硬币“aK”就是最后一步。把 aK 提取出来，硬币 aK 之前的所有硬币面值加总是 27- aK 因为总体求最硬币数量最小策略，所以拼出 27- aK 的硬币数也一定最少（重要设定）。

B、**转化子问题。**最后一步 aK 提出来之后，我们只要求出“最少用多少枚硬币可以拼出 27- aK”就可以了。

这种与原问题内核一致，但是规模变小的问题，叫做子问题。

为简化定义，我们设状态 f(X)=最少用多少枚硬币拼出总面值 X。我们目前还不知道最后的硬币 aK 面额多少，但它的面额一定只可能是 2/5/7 之一。如果 aK 是 2，f(27)应该是 f(27-2) + 1 (加上最后这一枚面值 2 的硬币）如果 aK 是 5，f(27)应该是 f(27-5) + 1 (加上最后这一枚面值 5 的硬币）如果 aK 是 7，f(27)应该是 f(27-7) + 1 (加上最后这一枚面值 7 的硬币）除此以外，没有其他的可能了。

至此，通过找到原问题最后一步，并将其转化为子问题。为求面值总额 27 的最小的硬币组合数的状态就形成了，用以下函数表示：

f(27) = min{f(27-2)+1, f(27-5)+1, f(27-7)+1}

第二步，转移方程，把问题方程化。

f[X] = min{f[X-2]+1, f[X-5]+1, f[X-7]+1}（动态规划都是要开数组，所以这里改用方括号表示）

实际面试中求解动态规划类问题，正确列出转移方程正确基本上就解决一半了。

但是请问：这与递归有什么不同？？

递归的解法：

// f(X)返回最少用多少枚硬币拼出Xint f(int X) {// 0元钱只要0枚硬币if (X == 0) return 0;// 初始化用无穷大（为什么是正无穷？）int res = MAX_VALUE;// 最后一枚硬币是2元if (X >= 2) {res = Math.min(f(X – 2) + 1, res);}// 最后一枚硬币是5元if (X >= 5) {res = Math.min(f(X – 5) + 1, res);}// 最后一枚硬币是7元if (X >= 7) {res = Math.min(f(X – 7) + 1, res);}return res;}

执行图如下：

要算 f(27)，就要递归 f(25)、f(22)、f(20)，然后下边依次递归……（三角形表示）。

问题明显——重复递归太多。

这是求 f(27)，还可以勉强递归。如果求 f(100)呢？简直是天文数字。最终结果就是递归超市。

求总体最值，一定优先考虑动态规划不要憨憨的去递归。

插入一下~

需要掌握的动态规划面试解题技巧还包括坐标型、位操型、序列型、博弈型、背包型、双序列以及一些高难面试题解。

本文篇幅有限无法逐一讲清，大家来白嫖我的在线分享吧（纯干货）。

第三步，按照实际逻辑设置边界情况和初始条件。

**【必做】**否则即使转移方程正确也大概率无法跑通代码。

f[X] = min{f[X-2]+1, f[X-5]+1, f[X-7]+1}的边界情况是[x-2]/[x-5]/[x-7]不能小于 0（硬币面值为正），也不能高于 27。

故对边界情况设定如下：

如果硬币面值不能组合出 Y，就定义 f[Y]=正无穷例如 f[-1]=f[-2]=…=正无穷；f[1] =min{f[-1]+1, f[-4]+1,f[-6]+1}=正无穷,

**特殊情况：**本题的 F[0]对应的情况为 F[-2]、F[-5]、F[-7]，按照上文的边界情况设定结果是正无穷。

但是实际上 F[0]的结果是存在的（即使用 0 个硬币的情况下），F[0]=0。可是按照我们刚刚的设定，F[0]=F[0-2]+1= F[-2]+1=正无穷。

岂不是矛盾？

这种用转移方程无法计算，但是又实际存在的情况，就必须通过手动定义。

这里手动强制定义初始条件为：F[0]=0.

而从 0 之后的数值是没矛盾的，比如 F[1]= F[1-2]+1= F[-1]+1=正无穷（正无穷加任何数结果还是正无穷）；F[2]= F[2-2]+1= F[0]+1=1……

第四步，确定计算顺序并计算求解

那么开始计算时，是从 F[1]、F[2]开始呢？还是从 F[27]、F[26]开始呢？

判断计算顺序正确与否的原则是：当我们要计算 F[X]（等式左边，如 F[10]）的时候，等式右边（f[X-2], f[X-5], f[X-7]等）都是已经得到结果的状态，这个计算顺序就是 OK 的。

实际就是从小到大的计算方式（偶有例外的情况我们后边再讲）。

例如我们算到 F[12]的时候，发现 F[11]、F[10]、F[9]都已经算过了，这种算法就是对的；而开始算 F[27]的时候，发现 F[26]还没有算，这样的顺序就是错的。

很显然这样的情况下写一个 FOR 循环就够了。

回到这道题，采用动态规划的算法，每一步只尝试三种硬币，一共进行了 27 步。算法时间复杂度（即需要进行的步数）为 27*3。

与递归相比，没有任何重复计算。

**原题练习及实际代码：**这道题是 lintcode 编号 669 的 Coin Change 问题。代码如下：

public int coinChange(int[] A, int M){// A = [2,5,7]// M = 27int[] f = new int[M + 1];int n = A.length; // 硬币的种类// 初始化, 0个硬币f[0] = 0;// f[1], f[2], ... , f[27] = Integer.MAX_VALUEfor (int i = 1; i <= M; i++){f[i] = Integer.MAX_VALUE;}for (int i = 1; i <= M; i++){// 使用第j个硬币 A[j]// f[i] = min{f[i-A[0]]+1, ... , f[i-A[n-1]]+1}for (int j = 0; j < n; ++j){// 如果通过放这个硬币能够达到重量iif (i >= A[j] && f[i - A[j]] != Integer.MAX_VALUE) {// 获得i的重量的硬币数就可能是获得i-A[j]重量硬币数的方案+1// 拿这个方案数量与原本的方案数打擂台，取最小值就行f[i] = Math.min(f[i - A[j]] + 1, f[i]);}}}if (f[M] == Integer.MAX_VALUE){return -1;}return f[M];}

最后总结：

1、这是求最值问题，用动态规划方式求解。2、进入求解过程，先确定问题状态

• 提炼最后一步（最优策略中使用的最后一枚硬币 aK）-子问题转化 （最少的硬币拼出更小的面值 27-aK）3、构建转移方程 f[X] = min{f[X-2]+1, f[X-5]+1, f[X-7]+1}（求 min 是因为题目要求求最小）4、设置初始条件和边界情况 f[0] = 0, 如果不能拼出 Y，f[Y]=正无穷 5、确定计算顺序并计算求解 f[0], f[1], f[2]……

实际上按照以上 4 步套路，基本上可以应对绝对大多数的动态规划面试题。

最后

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