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HyperLogLog 这里面水很深,但是你必须趟一趟

作者:李子捌
  • 2021 年 11 月 27 日
  • 本文字数:6795 字

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HyperLogLog这里面水很深,但是你必须趟一趟

一、简介

首先抛出一个业务问题:假设产品经理让你设计一个模块,来统计 PV(Page View 页面的访问量),那么你会怎么做?我想很多人对于 PV(Page View 页面的访问量)的统计会很快的想到使用 Redis 的 incr、incrby 指令,给每个网页配置一个独立 Redis 计数器就可以了,把这个技术区的 key 后缀加上当它的日期,这样一个请求过来,就可以通过执行 incr、incrby 指令统计所有 PV。​


此时当你完成这个需求后,产品经理又让你设计一个模块,统计 UV(Unique Visitor,独立访客),那么你又会怎么做呢?UV 与 PV 不一样,UV 需要根据用户 ID 去重,如果用户没有 ID 我们可能需要考虑使用用户访问的 IP 或者其他前端穿过了的唯一标志来区分,此时你可能会想到使用如下的方案来统计 UV。


  1. 存储在 MySQL 数据库表中,使用 distinct count 计算不重复的个数

  2. 使用 Redis 的 set、hash、bitmaps 等数据结构来存储,比如使用 set,我们可以使用用户 ID,通过 sadd 加入 set 集合即可


但是上面的两张方案都存在两个比较大的问题:


  1. 随着数据量的增加,存储数据的空间占用越来越大,对于非常大的页面的 UV 统计,基本不合实际

  2. 统计的性能比较慢,虽然可以通过异步方式统计,但是性能并不理想


因此针对 UV 的统计,我们将会考虑使用 Redis 的新数据类型 HyperLogLog.HyperLogLog 是用来做基数统计的算法,它提供不精确的去重计数方案(这个不精确并不是非常不精确),标准误差是 0.81%,对于 UV 这种统计来说这样的误差范围是被允许的。HyperLogLog 的优点在于,输入元素的数量或者体积非常大时,基数计算的存储空间是固定的。在 Redis 中,每个 HyperLogLog 键只需要花费 12KB 内存,就可以计算接近 2^64 个不同的基数。但是:HyperLogLog 只能统计基数的大小(也就是数据集的大小,集合的个数),他不能存储元素的本身,不能向 set 集合那样存储元素本身,也就是说无法返回元素。


HyperLogLog 指令都是 pf(PF)开头,这是因为 HyperLogLog 的发明人是 Philippe Flajolet,pf 是他的名字的首字母缩写。​

二、命令

2.1 PFADD key element [element …]

将任意数量的元素添加到指定的 HyperLogLog 里面,当 PFADD key element [element …]指令执行时,如果 HyperLogLog 的估计近似基数在命令执行之后出现了变化,那么命令返回 1,否则返回 0,如果 HyperLogLog 命令执行时给定的键不存在,那么程序将先创建一个空的 HyperLogLog 结构,再执行命令。该命令可以只给定 key 不给 element,这种以方式被调用时:


  • 如果给定的键存在且已经是一个 HyperLogLog,那么这种调用不会产生任何效果

  • 如果给定的键不存在,那么命令会闯进一个空的 HyperLogLog,并且给客户端返回 1


返回值:如果 HyperLogLog 数据结构内部存储的数据被修改了,那么返回 1,否则返回 0​


时间复杂度:O(1)​


使用示例:


2.2 PFCOUNT key [key …]

PFCOUNT 指令后面可以跟多个 key,当 PFCOUNT key [key …]命令作用于单个键时,返回存储在给定键的 HyperLogLog 的近似基数,如果键不存在,则返回 0;当 PFCOUNT key [key …]命令作用于多个键时,返回所给定 HyperLogLog 的并集的近似基数,这个近似基数是通过将索引给定 HyperLogLog 合并至一个临时 HyperLogLog 来计算得出的。​


返回值:返回给定 HyperLogLog 包含的唯一元素的近似数量的整数值​


时间复杂度:当命令作用于单个 HyperLogLog 时,时间复杂度为 O(1),并且具有非常低的平均常数时间。当命令作用于 N 个 HyperLogLog 时,时间复杂度为 O(N),常数时间会比单个 HyperLogLog 要大的多。


使用示例:


2.3 PFMERGE destkey sourcekey [sourcekey …]

将多个 HyperLogLog 合并到一个 HyperLogLog 中,合并后 HyperLogLog 的基数接近于所有输入 HyperLogLog 的可见集合的并集,合并后得到的 HyperLogLog 会被存储在 destkey 键里面,如果该键不存在,那么命令在执行之前,会先为该键创建一个空的 HyperLogLog。​


返回值:字符串回复,返回 OK​


时间复杂度:O(N),其中 N 为被合并的 HyperLogLog 的数量,不过这个命令的常数复杂度比较高


使用示例:


三、原理

3.1 伯努利试验

HyperLogLog 的算法设计能使用 12k 的内存来近似的统计 2^64 个数据,这个和伯努利试验有很大的关系,因此在探究 HyperLogLog 原理之前,需要先了解一下伯努利试验。​


以下是百度百科关于伯努利试验的介绍:


伯努利试验(Bernoulli experiment)是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验,其特点是该随机试验只有两种可能结果:发生或者不发生。我们假设该项试验独立重复地进行了 n 次,那么就称这一系列重复独立的随机试验为n重伯努利试验,或称为伯努利概型。单个伯努利试验是没有多大意义的,然而,当我们反复进行伯努利试验,去观察这些试验有多少是成功的,多少是失败的,事情就变得有意义了,这些累计记录包含了很多潜在的非常有用的信息。


伯努利试验是数据概率论中的一部分,它的典故源于“抛硬币”。**一个硬币只有正面和反面,每次抛硬币出现正反面的概率都是 50%,我们一直抛硬币直到出现第一次正面为止,记录抛硬币的次数,这个就被称为一次伯努利试验。**伯努利试验需要做非常多的次数,数据才会变得有意义。对于 n 次伯努利试验,出现正面的次数为 n,假设每次伯努利试验抛掷的次数为 k(也就是每次出现正面抛掷的次数),第一次伯努利试验抛掷次数为 k1,第 n 次伯努利试验抛掷次数为 kn,在这 n 次伯努利试验中,抛掷次数最大值为 kmax。上述的伯努利试验,结合极大似然估算方法(极大似然估计),得出 n 和 kmax 之间的估算关系:n=2^kmax。很显然这个估算关系是不准确的,例如如下案例:第一次试验:抛掷 1 次出现正面,此时 k=1,n=1;第二次实验:抛掷 3 次出现正面,此时 k=3,n=2;第三次实验:抛掷 6 次出现正面,此时 k=6,n=3;第 n 次试验:抛掷 10 次出现正面,此时 k=10,n=n,通过估算关系计算,n=2^10 上述案例可以看出,假设 n=3,此时通过估算关系 n=2^kmax,2^6 ≠3,而且偏差很大。因此得出结论,这种估算方法误差很大。

3.2 估值优化

关于上述估值偏差较大的问题,可以采用如下方式结合来缩小误差:


  1. 增加测试的轮数,取平均值。假设三次伯努利试验为 1 轮测试,我们取出这一轮试验中最大的的 kmax 作为本轮测试的数据,同时我们将测试的轮数定位 100 轮,这样我们在 100 轮实验中,将会得到 100 个 kmax,此时平均数就是(k_max_1 + ... + k_max_m)/m,这里 m 为试验的轮数,此处为 100.

  2. 增加修正因子,修正因子是一个不固定的值,会根据实际情况来进行值的调整。


上述这种增加试验轮数,去 kmax 的平均值的方法,是 LogLog 算法的实现。因此 LogLog 它的估算公式如下:



HyperLogLog 与 LogLog 的区别在于 HyperLogLog 使用的是调和平均数,并非平均数。调和平均数指的是倒数的平均数(调和平均数)。调和平均数相比平均数能降低最大值对平均值的影响,这个就好比我和马爸爸两个人一起算平均工资,如果用平均值这么一下来我也是年薪数十亿,这样肯定是不合理的。使用平均数和调和平均数计算方式如下:


假设我的工资 20000,马云 1000000000 使用平均数的计算方式:(20000 + 1000000000) / 2 = 500010000 调和平均数的计算方式:2/(1/20000 + 1/1000000000) ≈ 40000 很明显,平均工资月薪 40000 更加符合实际平均值,5 个亿不现实。


调和平均数的基本计算公式如下:



3.3 HyperLogLog 的实现

根据 3.1 和 3.2 大致可以知道 HyperLogLog 的实现原理了,它的主要精髓在于通过记录下低位连续零位的最大长度 K(也就是上面我们说的 kmax),来估算随机数的数量 n。



任何值在计算机中我们都可以将其转换为比特串,也就是 0 和 1 组成的 bit 数组,我们从这个 bit 串的低位开始计算,直到出现第一个 1 为止,这就好比上面的伯努利试验抛硬币,一直抛硬币直到出现第一个正面为止(只是这里是数字 0 和 1,伯努利试验中使用的硬币的正与反,并没有区别)。而 HyperLogLog 估算的随机数的数量,比如我们统计的 UV,就好比伯努利试验中试验的次数。​


综上所述,HyperLogLog 的实现主要分为三步:第一步:转为比特串通过 hash 函数,将输入的数据装换为比特串,比特串中的 0 和 1 可以类比为硬币的正与反,这是实现估值统计的第一步第二步:分桶分桶就是上面 3.2 估值优化中的分多轮,这样做的的好处可以使估值更加准确。在计算机中,分桶通过一个单位是 bit,长度为 L 的大数组 S,将数组 S 平均分为 m 组,m 的值就是多少轮,每组所占有的比特个数是相同的,设为 P。得出如下关系:


  • L = S.length

  • L = m * p

  • 数组 S 的内存 = L / 8 / 1024 (KB)


在 HyperLogLog 中,我们都知道它需要 12KB 的内存来做基数统计,原因就是 HyperLogLog 中 m=16384,p=6,L=16384 * 6,因此内存为=16384 * 6 / 8 / 1024 = 12 (KB),这里为何是 6 位来存储 kmax,因为 6 位可以存储的最大值为 64,现在计算机都是 64 位或 32 位操作系统,因此 6 位最节省内存,又能满足需求。



第三步:桶分配最后就是不同的数据该如何分配桶,我们通过计算 hash 的方式得到比特串,只要 hash 函数足够好,就很难产生 hash 碰撞,我们假设不同的数值计算得到不同的 hash 值,相同的数值得到相同的 hash 值(这也是 HyperLogLog 能用来统计 UV 的一个关键点),此时我们需要计算值应该放到那个桶中,可以计算的方式很多,比如取值的低 16 位作为桶索引值,或者采用值取模的方式等等。

3.4 代码实现-BernoulliExperiment(伯努利试验)

首先来写一个 3.1 中伯努利试验 n=2^kmax 的估算值验证,这个估算值相对偏差会比较大,在试验轮次增加时估算值的偏差会有一定幅度的减小,其代码示例如下:


package com.lizba.pf;
import java.util.concurrent.ThreadLocalRandom;
/** * <p> * 伯努利试验 中基数n与kmax之间的关系 n = 2^kmax * </p> * * @Author: Liziba * @Date: 2021/8/17 23:16 */public class BernoulliExperimentTest {
static class BitKeeper {
/** 记录最大的低位0的长度 */ private int kmax;

public void random() { // 生成随机数 long value = ThreadLocalRandom.current().nextLong(2L << 32); int len = this.lowZerosMaxLength(value); if (len > kmax) { kmax = len; }
}
/** * 计算低位0的长度 * 这里如果不理解看下我的注释 * value >> i 表示将value右移i, 1<= i <32 , 低位会被移出 * value << i 表示将value左移i, 1<= i <32 , 低位补0 * 看似一左一右相互抵消,但是如果value低位是0右移被移出后,左移又补回来,这样是不会变的,但是如果移除的是1,补回的是0,那么value的值就会发生改变 * 综合上面的方法,就能比较巧妙的计算低位0的最大长度 * * @param value * @return */ private int lowZerosMaxLength(long value) { int i = 1; for (; i < 32; i++) { if (value >> i << i != value) { break; } } return i - 1; }
}

static class Experiment { /** 测试次数n */ private int n; private BitKeeper bitKeeper;
public Experiment(int n) { this.n = n; this.bitKeeper = new BitKeeper(); }
public void work() { for(int i = 0; i < n; i++) { this.bitKeeper.random(); } }
/** * 输出每一轮测试次数n * 输出 logn / log2 = k 得 2^k = n,这里的k即我们估计的kmax * 输出 kmax,低位最大0位长度值 */ public void debug() { System.out.printf("%d %.2f %d\n", this.n, Math.log(this.n) / Math.log(2), this.bitKeeper.kmax); } }
public static void main(String[] args) { for (int i = 0; i < 100000; i++) { Experiment experiment = new Experiment(i); experiment.work(); experiment.debug(); } }
}
复制代码


我们可以通过修改 main 函数中,测试的轮次,再根据输出的结果来观察,n=2^kmax 这样的结果还是比较吻合的。


3.5 代码实现-HyperLogLog

接下来根据 HyperLogLog 中采用调和平均数+分桶的方式来做代码优化,模拟简单版本的 HyperLogLog 算法的实现,其代码如下:


package com.lizba.pf;
import java.util.concurrent.ThreadLocalRandom;
/** * <p> * HyperLogLog 简单实现 * </p> * * @Author: Liziba * @Date: 2021/8/18 10:40 */public class HyperLogLogTest {
static class BitKeeper {
/** 记录最大的低位0的长度 */ private int kmax;

/** * 计算低位0的长度,并且保存最大值kmax * * @param value */ public void random(long value) { int len = this.lowZerosMaxLength(value); if (len > kmax) { kmax = len; } }
/** * 计算低位0的长度 * 这里如果不理解看下我的注释 * value >> i 表示将value右移i, 1<= i <32 , 低位会被移出 * value << i 表示将value左移i, 1<= i <32 , 低位补0 * 看似一左一右相互抵消,但是如果value低位是0右移被移出后,左移又补回来,这样是不会变的,但是如果移除的是1,补回的是0,那么value的值就会发生改变 * 综合上面的方法,就能比较巧妙的计算低位0的最大长度 * * @param value * @return */ private int lowZerosMaxLength(long value) { int i = 1; for (; i < 32; i++) { if (value >> i << i != value) { break; } } return i - 1; } }

static class Experiment {
private int n; private int k; /** 分桶,默认1024,HyperLogLog中是16384个桶,并不适合我这里粗糙的算法 */ private BitKeeper[] keepers;
public Experiment(int n) { this(n, 1024); }
public Experiment(int n, int k) { this.n = n; this.k = k; this.keepers = new BitKeeper[k]; for (int i = 0; i < k; i++) { this.keepers[i] = new BitKeeper(); } }
/** * (int) (((m & 0xfff0000) >> 16) % keepers.length) -> 计算当前m在keepers数组中的索引下标 * 0xfff0000 是一个二进制低16位全为0的16进制数,它的二进制数为 -> 1111111111110000000000000000 * m & 0xfff0000 可以保理m高16位, (m & 0xfff0000) >> 16 然后右移16位,这样可以去除低16位,使用高16位代替高16位 * ((m & 0xfff0000) >> 16) % keepers.length 最后取模keepers.length,就可以得到m在keepers数组中的索引 */ public void work() { for (int i = 0; i < this.n; i++) { long m = ThreadLocalRandom.current().nextLong(1L << 32); BitKeeper keeper = keepers[(int) (((m & 0xfff0000) >> 16) % keepers.length)]; keeper.random(m); } }
/** * 估算 ,求倒数的平均数,调和平均数 * * @return */ public double estimate() { double sumBitsInverse = 0.0; // 求调和平均数 for (BitKeeper keeper : keepers) { sumBitsInverse += 1.0 / (float) keeper.kmax; } double avgBits = (float) keepers.length / sumBitsInverse; return Math.pow(2, avgBits) * this.k; }
}
/** * 测试 * * @param args */ public static void main(String[] args) { for (int i = 100000; i < 1000000; i+=100000) { Experiment experiment = new Experiment(i); experiment.work(); double estimate = experiment.estimate(); // i 测试数据 // estimate 估算数据 // Math.abs(estimate - i) / i 偏差百分比 System.out.printf("%d %.2f %.2f\n", i, estimate, Math.abs(estimate - i) / i); } }
}
复制代码


测试结果如下,误差基本控制在 0.08 以下,还是很高的误差,所以说算法很粗糙



发布于: 2021 年 11 月 27 日阅读数: 7
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