头脑风暴：最长递增子序列

题目

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18] 输出：4 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：输入：nums = [0,1,0,3,2,3] 输出：4

示例 3：输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7] 输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500

• -10^4 <= nums[i] <= 104

解题思路

根据题意，此题可以用动态规划的方式来求解。

第一步，确定 dp 数组以及下标的含义：dp[i] 表示 i 之前包括 i 的以 nums[i] 结尾最长上升子序列的长度。

第二步，确定递推公式：位置 i 的最长升序子序列等于 j 从 0 到 i-1 各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。递推公式为：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

第三步，初始化：dp[i] 的起始大小是 1。

第四步，确定遍历顺序：dp[i] 是有 0 到 i-1 各个位置的最长升序子序列推导而来，那么遍历 i 一定是从前向后遍历。j 其实就是 0 到 i-1，遍历 i 的循环在外层，遍历 j 则在内层。

代码实现

class Solution {    public int lengthOfLIS(int[] nums) {        if(nums.length == 0){            return 0;        }        int[] dp = new int[nums.length];        int res = 0;        Arrays.fill(dp, 1);        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {            for (int j = 0; j < i; j++) {                if (nums[j] < nums[i]) dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);            }            res = Math.max(res, dp[i]);        }        return res;    }}

最后

• 时间复杂度：O(n^2)，其中 n 为数组 nums 的长度.

• 空间复杂度：O(n).