概述

古希腊哲学家芝诺很早便开始了思考无穷问题。芝诺提出了一系列关于空间、时间和运动的悖论，无穷在其中扮演着重要而复杂的角色，而这些难题预示了微积分的核心思想，至今仍备受关注。

二分法悖论

二分法悖论认为人根本无法移动，因为在每走一步之前，需要先走 1/2 步；而在走 1/2 步之前，需要先走 1/4 步，以此类推。结果就是非但走不到墙根处，甚至连出发都没办法。

阿喀琉斯与乌龟悖论

该悖论认为在跑步比赛中，如果跑得慢的乌龟在起跑点更靠前，那么跑得快的阿喀琉斯就永远追不上乌龟。原因在于，当阿喀琉斯到达乌龟的起跑点时，乌龟会沿着跑道向前移动一点儿；当阿喀琉斯到达那个新位置时，乌龟又会往前爬一点儿。

假设空间和时间是连续，芝诺通过二分法悖论、阿喀琉斯与乌龟悖论，推导出这个假设是错误的。而从微积分角度出发，发现悖论并不存在。假设乌龟的起跑点在阿喀琉斯前方 10 米处，但阿喀琉斯的跑步速度是乌龟的 10 倍。然后，阿喀琉斯花 1 秒的时间追平了起跑时乌龟领先他 10 米的优势。与此同时，乌龟会向前移动 1 米。阿喀琉斯需要再花 0.1 秒来追平这个差距，到那时乌龟会再向前移动 0.1 米。继续这个推理过程，便会得到阿喀琉斯连续追赶乌龟所花的时间加起来是一个无穷级数：1+0.1+0.01+0.001+…=1.111…秒。把这个时间量换算成一个等值分数——10/9 秒，它就是阿喀琉斯赶超乌龟需要花的时间。

飞矢不动悖论

如果空间和时间是离散的，飞矢就未曾移动，因为在每一个瞬间（一个时间像素），飞矢都在某个确定的位置（一组特定的空间像素）上。由此可以推断，在任何给定的瞬间，飞矢都是静止不动的。它也不会在两个瞬间之间移动，因为根据假设，两个瞬间之间是没有时间的。所以，飞矢从未移动。《庄子·杂篇·天下》里的“飞鸟之景未尝动也”与之说法类似。

手机、数字录像设备和电脑屏幕将所有图像切分成离散的像素，但和芝诺的主张相反，即使在这些离散化的场景下，运动也可以完美地发生。只要所有图像都被切分得足够细致，就无法分辨出光滑的运动与其数字表示之间的不同。如果观看飞矢的高分辨率视频，可以看到的实际上是一支像素化的箭在一帧接一帧的离散画面中出现。但由于我们的感知能力有限，它看上去就像一条光滑的轨迹。

从微积分角度出发，任何连续的事物都可以被精确地切分成无穷多个无穷小的部分，这就是无穷原则。在极限和无穷的帮助下，离散和连续融为了一体。