来自北京大学 NOIP 金牌选手 yxc 的常用代码模板 4——数学知识
[](
)7.欧几里得算法
int gcd(int a, int b)
{
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
求欧拉函数 —— 模板题 AcWing 873. 欧拉函数
int phi(int x)
{
int res = x;
for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
if (x % i == 0)
{
res = res / i * (i - 1);
while (x % i == 0) x /= i;
}
if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
return res;
}
[](
)8.筛法求欧拉函数
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
int euler[N]; // 存储每个数的欧拉函数
bool st[N]; // st[x]存储 x 是否被筛掉
void get_eulers(int n)
{
euler[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i])
{
primes[cnt ++ ] = i;
euler[i] = i - 1;
}
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
{
int t = primes[j] * i;
st[t] = true;
if (i % primes[j] == 0)
{
euler[t] = euler[i] * primes[j];
break;
}
euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
}
}
}
[](
)9.快速幂
求 m^k mod p，时间复杂度O(logk)。
int qmi(int m, int k, int p)
{
int res = 1 % p, t = m;
while (k)
{
if (k&1) res = res * t % p;
t = t * t % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
[](
)10.扩展欧几里得算法
// 求 x, y，使得 ax + by = gcd(a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (!b)
{
x = 1; y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= (a/b) * x;
return d;
}
[](
)11.高斯消元
递归法求组合数
// c[a][b] 表示从 a 个苹果中选 b 个的方案数
for (int i = 0; i < N; i ++ )
for (int j = 0; j <= i; j ++ )
if (!j) c[i][j] = 1;
else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
通过预处理逆元的方式求组合数
首先预处理出所有阶乘取模的余数fact[N]，以及所有阶乘取模的逆元infact[N]
如果取模的数是质数，可以用费马小定理求逆元
int qmi(int a, int k, int p) // 快速幂模板
{
int res = 1;
while (k)
{
if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
a = (LL)a * a % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
// 预处理阶乘的余数和阶乘逆元的余数
fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i ++ )
{
fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
}
[](
)12.Lucas 定理
若p是质数，则对于任意整数 1 <= m <= n，有：
C(n, m) = C(n % p, m % p) * C(n / p, m / p) (mod p)
int qmi(int a, int k) // 快速幂模板
{
int res = 1;
while (k)
{
if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
a = (LL)a * a % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
int C(int a, int b) // 通过定理求组合数 C(a, b)
{
int res = 1;
for (int i = 1, j = a; i <= b; i ++, j -- )
{
res = (LL)res * j % p;
res = (LL)res * qmi(i, p - 2) % p;
}
return res;
}
int lucas(LL a, LL b)
{
if (a < p && b < p) return C(a, b);
return (LL)C(a % p, b % p) * lucas(a / p, b / p) % p;
}
[](
)13.分解质因数法求组合数
当我们需要求出组合数的真实值，而非对某个数的余数时，分解质因数的方式比较好用：
1. 筛法求出范围内的所有质数
2. 通过C(a, b) = a! / b! / (a - b)! 这个公式求出每个质因子的次数。 n!中p的次数是n / p + n / p^2 + n / p^3 + ...
3. 用高精度乘法将所有质因子相乘
int primes[N], cnt; // 存储所有质数
int sum[N]; // 存储每个质数的次数
bool st[N]; // 存储每个数是否已被筛掉
void get_primes(int n) // 线性筛法求素数
{
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
{
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
int get(int n, int p) // 求 n！中的次数
{
int res = 0;
while (n)
{
res += n / p;
n /= p;
}
return res;
}
vector<int> mul(vector<int> a, int b) // 高精度乘低精度模板
{
vector<int> c;
int t = 0;
for (int i = 0; i < a.size(); i ++ )
{
t += a[i] * b;
c.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
while (t)
{
c.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
return c;
}
get_primes(a); // 预处理范围内的所有质数
for (int i = 0; i < cnt; i ++ ) // 求每个质因数的次数
{
int p = primes[i];
sum[i] = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
}
vector<int> res;
res.push_back(1);
for (int i = 0; i < cnt; i ++ ) // 用高精度乘法将所有质因子相乘
for (int j = 0; j < sum[i]; j ++ )
res = mul(res, primes[i]);
[](
)14.卡特兰数
还未添加个人签名 2021.03.18 加入
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