头脑风暴:完全背包
题目
有 N 件物品和一个最多能背重量为 W 的背包。第 i 件物品的重量是 weight[i],得到的价值是 value[i] 。每件物品都有无限个(也就是可以放入背包多次),求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
解题思路
完全背包和 01 背包问题唯一不同的地方就是,每种物品有无限件, 问背包能背的物品最大价值是多少? 求解该题与 01 背包问题的区别就在于遍历顺序上。
所以第一步确定 dp 数组的定义,在一维 dp 数组中,dp[j]表示:容量为 j 的背包,所背的物品价值可以最大为 dp[j]。
第二步确定递推公式,dp[j]可以通过 dp[j - weight[i]]推导出来,dp[j - weight[i]]表示容量为 j - weight[i]的背包所背的最大价值。dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品 i 重量 的背包 加上 物品 i 的价值。此时 dp[j]有两个选择,一个是取自己 dp[j] 相当于 二维 dp 数组中的 dp[i-1][j],即不放物品 i,一个是取 dp[j - weight[i]] + value[i],即放物品 i,指定是取最大的,毕竟是求最大价值,
所以递归公式为:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
第三步 dp 数组初始化,由于物品价值都是大于 0 的,所以 dp 数组初始化的时候,都初始为 0 就可以了。
我们知道 01 背包内嵌的循环是从大到小遍历,为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的,所以要从小到大去遍历,代码如下:
代码实现
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