斐波那契数列问题

LeetCode 509：斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给定 n ，请计算 F(n) 该问题。

该问题可以通过以下几种方式进行解决：

1. 递归实现

时间复杂度为$O(2^N)$,实现源码

int fib(int n) {    if (n <= 1) return n;    if (n == 2) return 1;    return fib(n-1)+fib(n-2);}

我们在计算F(N)的时候前面已经计算过F(n-1)可以通过记忆F(n-1)来降低计算的复杂度。

2. 动态规划

时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(N)。

int fib(int n) {        vector<int> dp = vector<int>(n+2);    dp[0] = 0, dp[1] = 1;    for (int i = 2; i <= n; i++) {        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];    }    return dp[n];}

$f[n]$只依赖$f[n-1]$和$f[n-2]$可以进行空间压缩，利用滑动数组来降低空间复杂度。

3. 动态规划+滑动数组

int fib(int n) {    if (n <= 1) return n;
    int pre = 1, prepre = 0;    int cur = 1;    for (int i = 2; i <= n; i++) {        cur = pre + prepre;        prepre = pre;        pre = cur;    }    return cur;}

1. 矩阵快速幂

时间复杂度为$O(lo{g}_{2}N)$，空间复杂度为$O(1)$。

快速幂算法可以快速计算$M^N$在$O(lo{g}_{2}N)$的时间复杂度内计算得到结果。 快速幂算法源码较长，可以参考实现Github源码

5. 通项公式

实现源码:

int fib(int n) {    double sqrt5 = sqrt(5);    double fibN = pow((1 + sqrt5) / 2, n) - pow((1 - sqrt5) / 2, n);    return round(fibN / sqrt5);}

类似问题扩展

1. 爬楼梯问题

LeetCode 70：爬楼梯问题 设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。 这就是一个斐波那契额数列问题，状态转移方程：F(n)=F(n-1)+F(n-2)F(n)=F(n−1)+F(n−2) 

快速幂等公式推导：

实现github源码

2. 第 N 个泰波那契数

LeetCode1137 第 N 个泰波那契数 泰波那契序列 Tn 定义如下： T0=0, T1=1, T2=1, 且在 n>= 0 的条件下 Tn+3=Tn+Tn+1+Tn+2。给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值

快速幂等公式推导：

动态规划和快速幂等实现github源码