算法基础（三）| 二分图解及代码模板

2022 年 9 月 22 日
山东
本文字数：1508 字
阅读完需：约 5 分钟

⭐写在前面的话：本系列文章旨在复习算法刷题中常用的基础算法与数据结构，配以详细的图例解释，总结相应的代码模板，同时结合例题以达到最佳的学习效果。本专栏面向算法零基础但有一定的 C++基础的学习者。若 C++基础不牢固，可参考：10min快速回顾C++语法，进行语法复习。
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二分

整数二分

如果有单调性，就一定可以二分。但是有二分的不一定非得有单调性。

二分的本质是边界，将区间分为两个，一边满足某条性质，另一边不满足某条性质。然后可以找到这两个区间的边界，找任意一个区间的边界都可以。

但是找红色边界和绿色边界略有区别：

红色边界：

细节：关于为什么 mid = (l + r +1) / 2 ，因为 C++中取整是下取整。

假设 mid = (l + r ) / 2 ；如果是 l = r - 1;那么下取整后 mid = l ，会陷入死循环。

也可以找绿色边界：

例题：数的范围

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 00 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式

共 qq 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围

1≤n≤1000001≤q≤100001≤k≤10000

输入样例：

6 31 2 2 3 3 4345

复制代码

输出样例：

3 45 5-1 -1

复制代码

代码模板

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
const int N = 100010;int m ,n ;int q[N];

int main(){    scanf("%d%d", &n, &m);    for(int i = 0; i < n ; i++)scanf("%d",&q[i]);        while( m --)    {        int x;         scanf("%d", &x);                int l = 0 , r = n - 1;        while( l < r)        {            int mid = l + r >> 1;            if(q[mid] >= x)r = mid;            else l = mid + 1;        }        //上面二分出来的是第一个满足大于等于x的数，如果没有x，则是大于x的数。        if(q[l] != x)cout << "-1 -1" <<endl;        //对该数进行判断，如果不满足，则返回-1-1。        else        {            //找到最后一个x的位置            cout << l << ' ';                        int l = 0, r = n - 1;            while(l < r)            {                int mid = l + r + 1 >> 1;                if(q[mid] <= x)l = mid;                else r = mid - 1;            }            cout << l << endl;        }    }}

复制代码

浮点数二分

浮点数二分思路同上，有个好处是不需要处理边界。

例题：开平方

给定一个浮点数 n，求它的三次方根。

输入格式

共一行，包含一个浮点数 n。

输出格式

共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

注意，结果保留 6 位小数。

数据范围

−10000≤n≤10000

输入样例：

复制代码

输出样例：

2.000000

复制代码

代码模板

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
int main(){    double x;    cin >> x;        double l = 0, r =x ;    while(r - l > 1e-8)    {        double mid = (l + r)/2;        if(mid * mid >= x)r = mid;        else l = mid ;    }    printf("%lf", l);    return 0;}

复制代码

这里要强调的是精度问题：

while(r - l > 1e-8)

复制代码

误差过大会导致精度不足。

这里给出一些经验值：误差值一般比保留位数多 2

当然可以采用其他写法：

for(int i = 0; i < 100 ; i++);

复制代码

直接循环 100 次，相当于把整个区间的长度直接循环 $2^{100}$

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