python 时间序列预测之 Holt-Winters

2023-04-23
福建
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1. 什么是 Holt-Winters

时间序列是非常常见的数据格式，以[时间，观测值]形式表现，如下图。

现实场景中如股票走势图，国家 GDP 历年数据，机器 cpu 利用率，内存数据等都是时间序列。对未来时间的观测值进行预测是有意义的工作，提前预知未来的数据的走势，可以提前做出行动，如预测 cpu 使用率，如果 cpu 飙高，可以及早进行调整，避免机器负载过高而宕机，这个在 AIOPS 是很常见的一个应用场景。

今天要说到Holt-Winters是利用三次指数平滑来做时间序列预测的方法。Holt-Winters综合了 1957 年 Holt 和 1960 年 Winters 两个人的思路的一种方法。

一次指数平滑
我们来看下，一次指数平滑如下图：

可知，si 表示第 i 时刻的平滑估计，si 可以表示为当前实际值 xi 和上一时刻平滑估计值得加权组合，权重由 alpha 来决定。那为什么称为指数平滑呢？我们来把式子展开，如下：

有点类似泰勒展开式的味道

alpha 属于[0, 1], 越大表示近期的数据影响更大
二次指数平滑：加上趋势的因素
一次指数平滑，没有考虑时间序列的趋势和季节性，二次指数平滑加上趋势因素。

从公式可知，一个时间序列的时刻值分解为 baseline 部分和趋势部分，t 表示趋势，可以表示为连续两个时刻的差值；可知，ti 也是一次的指数平滑。
Holt-Winters三次指数平滑：加上季节性因素
在二次指数平滑基础上，考虑季节性因素，就是三次指数平滑，也就是 Holt-Winters。
由此，一个时间序列的时刻值分解为 baseline 部分和趋势部分以及季节部分。由于季节性，存在周期，比如按周，按月等。pi 季节性为当前季节性值和上一个周期季节性估计值的加权组合，周期在公式中以 k 来表示。如下：

2. Holt-Winters 的实现

从第一部分可知，要实现 Holt-Winters，只要知道：

初始值：s0，t0 和 p0
合适的参数：alpha，beta， gamma
套入公式即可完成预测

三个重要参数：alpha，beta， gamma 都属于[0, 1]之间，要么人为的搜索，要么通过数据来估计，通常采用 L-BFGS 优化算法来拟合数据。优化算法来自包scipy.optimize的fmin_l_bfgs_b。

from __future__ import divisionfrom sys import exitfrom math import sqrtfrom numpy import arrayfrom scipy.optimize import fmin_l_bfgs_b
# 优化算法的loss function，即判断拟合效果，由RMSE MAE等def RMSE(params, *args):
    Y = args[0]    type = args[1]    rmse = 0
    alpha, beta, gamma = params    m = args[2]         a = [sum(Y[0:m]) / float(m)]    b = [(sum(Y[m:2 * m]) - sum(Y[0:m])) / m ** 2]
    if type == 'additive':        s = [Y[i] - a[0] for i in range(m)]        y = [a[0] + b[0] + s[0]]
        for i in range(len(Y)):            a.append(alpha * (Y[i] - s[i]) + (1 - alpha) * (a[i] + b[i]))            b.append(beta * (a[i + 1] - a[i]) + (1 - beta) * b[i])            s.append(gamma * (Y[i] - a[i] - b[i]) + (1 - gamma) * s[i])            y.append(a[i + 1] + b[i + 1] + s[i + 1])
    rmse = sqrt(sum([(m - n) ** 2 for m, n in zip(Y, y[:-1])]) / len(Y))
    return rmse
# 加性的时间序列def additive(x, m, fc, alpha = None, beta = None, gamma = None):
    Y = x[:]
    # 利用fmin_l_bfgs_b来估计参数alpha beta和gamma    if (alpha == None or beta == None or gamma == None):
        initial_values = array([0.3, 0.1, 0.1])        boundaries = [(0, 1), (0, 1), (0, 1)]        type = 'additive'
        parameters = fmin_l_bfgs_b(RMSE, x0 = initial_values, args = (Y, type, m), bounds = boundaries, approx_grad = True)        alpha, beta, gamma = parameters[0]
    # 初始值 a表示baseline， b表示趋势，s表示季节性，y表示预测值， 分别取第一个周期的统计数据为初始值    a = [sum(Y[0:m]) / float(m)]    b = [(sum(Y[m:2 * m]) - sum(Y[0:m])) / m ** 2]    s = [Y[i] - a[0] for i in range(m)]    y = [a[0] + b[0] + s[0]]    rmse = 0
    # 套用上面公式，从0开始，fc表示预测的数量，如已知前7天，预测接下来的一个小时的数据，如果数据粒度是5分钟，fc为12。    for i in range(len(Y) + fc):
        if i == len(Y):            # 预测值为            Y.append(a[-1] + b[-1] + s[-m])
        a.append(alpha * (Y[i] - s[i]) + (1 - alpha) * (a[i] + b[i]))        b.append(beta * (a[i + 1] - a[i]) + (1 - beta) * b[i])        s.append(gamma * (Y[i] - a[i] - b[i]) + (1 - gamma) * s[i])        y.append(a[i + 1] + b[i + 1] + s[i + 1])
    # 计算rmse值    rmse = sqrt(sum([(m - n) ** 2 for m, n in zip(Y[:-fc], y[:-fc - 1])]) / len(Y[:-fc]))
    return y[-fc:], alpha, beta, gamma, rmse

复制代码

另外，statsmodels 包中也提供的实现的方法

from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing

复制代码

3. Holt-Winters 参数

从上面实现可知，holt-winters 通过预估 alpha，beta 和 gamma 来预测。算法的关键就是这三个参数和初始化值。三个参数可以通过优化算法来预估，但有可能并不是最优的。初始值的设置除了上面统计值外，还可以通过时序的分解的趋势和季节部分来初始。

import numpy as npfrom pandas import read_csvimport matplotlib.pyplot as pltfrom statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose
decomposition = seasonal_decompose(df_clean.bw, model='additive', period=288)decomposition.plot()

复制代码

Holt-Winters针对波形比较稳定，没有突刺的情况下，效果会比较好。

对于存在突刺，统一的 alpha，beta，gamma 不能很好拟合，预测可能会滞后。

4. 总结

本文分享了时间序列预测算法Holt-Winters以及重要参数的选择，希望对你有帮助。总结如下：

Holt-Winters是三次指数平滑，分别为 baseline，趋势和季节性；
alpha、beta 和 gamma 分别为 baseline，趋势和季节性的指数加权参数，一般通过优化算法 L-BFGS 估计
初始化可通过平均值，也可通过时间序列分解得到
周期 m 或者 k 的选择要根据实际数据来选择
Holt-Winters针对波形比较稳定，没有突刺的情况下，效果会比较好

5. 参考

Holt, C. E. (1957). Forecasting seasonals and trends by exponentially weighted averages (O.N.R. Memorandum No. 52). Carnegie Institute of Technology, Pittsburgh USA. https://doi.org/10.1016/j.ijforecast.2003.09.015
Winters, P. R. (1960). Forecasting sales by exponentially weighted moving averages. Management Science, 6, 324–342. https://doi.org/10.1287/mnsc.6.3.324
https://nbviewer.jupyter.org/github/Yorko/mlcourse_open/blob/master/jupyter_english/topic09_time_series/topic9_part1_time_series_python.ipynb

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原文链接:【http://xie.infoq.cn/article/2a1f4e98466e745eb1f7b8d91】。文章转载请联系作者。