本专栏包含信息论与编码的核心知识，按知识点组织，可作为教学或学习的参考。markdown 版本已归档至【Github 仓库：https://github.com/timerring/information-theory 】或者公众号【AIShareLab】回复 信息论 获取。

信道的数学模型

广义信道的数学模型

连续信道模型 和 离散信道模型

连续信道的数学模型

广义信道中的调制信道属于连续信道。我们所关心的是信号经过信道所得到的输出信号，信道内部的变化过程并不重要。可以用描述一定输入、输出关系的方框来表示。

连续信道具有以下一些特征：

• 可以有一对或者多对输入端和输出端；

• 大多数信道都为线性，也就是满足线性叠加原理；

• 信号通过此类信道具有固定或者时变延迟，以及固定或时变的损耗和衰落；

• 信道中不可避免的会引入噪声，即使没有输入信号，也会有噪声输出。

连续信道一般可以看作一个输出端叠加有噪声的时变线性网络，输入输出关系如下：

其中:

$s_i(t)$ 是输入的连续信号, $r(t)$ 是信道总的输出, $n(t)$ 是加性噪声;

$n(t)$ 独立于$s_i(t)$ 。

$s_o(t)=f[s_i(t)]$ 实际反映了物理信道的特性, $f[s_i(t)]$ 可以表示成信道单位冲激响应与输入信号的卷积, 也即 $f[s_i(t).]$反映信道的特性, 可以表示为:

$$s_{0}(t)=f[s_{i}(t)]=h(t) * s_{i}(t) \\boldsymbol{S}{\boldsymbol{o}}(\boldsymbol{f})=\boldsymbol{H}(\boldsymbol{f}) \boldsymbol{S}{\boldsymbol{i}}(\boldsymbol{f})$$

$H(f)$依赖于信道的特性, 可以看成是乘性千扰。

讨论：

1）连续信道对信号的干扰主要有两种 乘性干扰 ℎ(𝑡)和加性干扰 𝑛(𝑡)，分析信道对信号的具体影响，只要了解 ℎ(𝑡)与 𝑛(𝑡)的特性即可。

2）分析乘性干扰 ℎ(𝑡)的影响时，可以把连续信道分成两大类：

• 恒参信道，即 ℎ(𝑡)随时间缓变或者不变；通常将架空明线、电缆、光导纤维、超短波及微波视距传播、卫星中继等看作恒参信道。

• 是随参信道，即 ℎ(𝑡)随机快变化。短波电离层反射信道、各种散射信道、超短波移动通信信道等可以视为随参信道。

离散信道数学模型

广义信道中的编码信道就是一种离散信道（数字信道）。离散信道的输入变量 X 、输出变量 Y 均为离散信号（数字信号）。信道的特性可用信道转移概率 $P(\mathbf{y}|\mathbf{x})$（条件概率）来描述。主要研究离散信号在信道中传输的特征。

例：二进制无记忆编码信道（BSC）

$p(0/0)$ 和 $p(1/1)$ 为正确转移概率, $p(1/0)$ 和 $p(0/1)$ 为错误转移概率 , 我们有 $p(0/0)=1-p(1/0)$ ; $p(1/1)=1-p(0/1)$ 。

半连续信道

输入变量 X 和输出变量 Y 一个为连续信号，一个为离散信号。如下图所示的 AWGN 信道，输入是二进制对极信号，输出是叠加了高斯白噪声的连续信号。

参考文献：

1. Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.

2. Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.

3. 周炯槃. 通信原理（第 3 版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.

4. 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第 7 版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.