38 | 分治算法：谈一谈大规模计算框架 MapReduce 中的分治思想

作者：鲁米

2023-12-14
北京
本文字数：2727 字
阅读完需：约 9 分钟

关于分治算法，我这还有两道比较经典的问题，你可以自己练习一下。

二维平面上有 n 个点，如何快速计算出两个距离最近的点对？

算法步骤：

按照 x 坐标将点排序。 将点按照 x 坐标从小到大排序，得到排好序的点集。
递归地分成两个子问题。 将排好序的点集平均分成两半，分别在左半边和右半边递归求解最近点对。
在中间带有 d 距离的带区域查找更小的距离。 使用一个窗口，包括中间带有 d 距离的区域，查找这个区域内是否有更小的点对距离。
合并结果。 将左右两个区域的最小距离合并。

class Point {    double x, y;
    public Point(double x, double y) {        this.x = x;        this.y = y;    }}
public class ClosestPair {
    // 计算两点之间的距离(欧几里得距离)    private static double distance(Point p1, Point p2) {        return Math.sqrt(Math.pow(p1.x - p2.x, 2) + Math.pow(p1.y - p2.y, 2));    }
    // 递归求解最近点对    private static double closestPair(Point[] points, int left, int right) {        if (right - left <= 3) {            // 对于小规模问题，使用暴力方法解决            double minDist = Double.POSITIVE_INFINITY;            for (int i = left; i < right; i++) {                for (int j = i + 1; j < right; j++) {                    minDist = Math.min(minDist, distance(points[i], points[j]));                }            }            return minDist;        }
        // 分成两半        int mid = (left + right) / 2;        double leftDist = closestPair(points, left, mid);        double rightDist = closestPair(points, mid, right);        double minDist = Math.min(leftDist, rightDist);
        // 查找中间带有 d 距离的带区域        Point[] strip = new Point[right - left];        int stripSize = 0;        for (int i = left; i < right; i++) {            if (Math.abs(points[i].x - points[mid].x) < minDist) {                strip[stripSize++] = points[i];            }        }
        // 根据 y 坐标排序带区域内的点        Arrays.sort(strip, 0, stripSize, (p1, p2) -> Double.compare(p1.y, p2.y));
        // 查找带区域内更小的距离        for (int i = 0; i < stripSize; i++) {            for (int j = i + 1; j < stripSize && strip[j].y - strip[i].y < minDist; j++) {                minDist = Math.min(minDist, distance(strip[i], strip[j]));            }        }
        return minDist;    }
    // 计算最近点对的距离    public static double closestPair(Point[] points) {        if (points == null || points.length < 2) {            return Double.POSITIVE_INFINITY;        }
        // 按照 x 坐标排序        Arrays.sort(points, (p1, p2) -> Double.compare(p1.x, p2.x));
        return closestPair(points, 0, points.length);    }
    public static void main(String[] args) {        Point[] points = {                new Point(0, 0),                new Point(1, 1),                new Point(2, 2),                new Point(3, 3),                new Point(5, 5),                new Point(7, 7)};        double closestDistance = closestPair(points);        System.out.println("最近点对的距离：" + closestDistance);    }}

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distance

方法用于计算两个点之间的欧几里得距离。在平面上，两点 (x1, y1) 和 (x2, y2) 之间的欧几里得距离可以通过以下公式计算：

d i s t a n c e = (x 1 - x 2)^{2} + (y 1 - y 2)^{2}

这个公式就是两点之间的直线距离，即勾股定理。在 closestPair 算法中，distance 方法被用于计算点对之间的距离。

在算法的具体实现中，distance(points[i], points[j]) 就表示点 points[i] 和 points[j] 之间的距离。这个距离在算法中被用于比较两个点对的距离，以确定最小距离。

有两个 nn 的矩阵 A，B，如何快速求解两个矩阵的乘积 C=AB？

矩阵乘法是一个常见的数学运算，可以通过多种算法来实现。其中，最常见的算法是经典的矩阵乘法算法，也称为 Strassen 算法。

下面是矩阵乘法的经典算法示例（假设 A 和 B 都是 n*n 的矩阵）：

public class MatrixMultiplication {
    public static int[][] multiply(int[][] A, int[][] B) {        int n = A.length;        int[][] C = new int[n][n];        for (int i = 0; i < n; i++) {            for (int j = 0; j < n; j++) {                for (int k = 0; k < n; k++) {                    C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];                }            }        }        return C;    }
    public static void main(String[] args) {        int[][] A = {                {1, 2},                {3, 4}        };
        int[][] B = {                {5, 6},                {7, 8}        };
        int[][] result = multiply(A, B);
        // Print the result matrix        for (int i = 0; i < result.length; i++) {            for (int j = 0; j < result[0].length; j++) {                System.out.print(result[i][j] + " ");            }            System.out.println();        }    }}

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Strassen 算法和 Coppersmith–Winograd 算法是矩阵乘法的优化算法，它们采用了分治的思想，通过减小递归的规模来降低时间复杂度。以下简要介绍这两个算法：

Strassen 算法：
Strassen 算法是一种采用分治策略的矩阵乘法算法，它将两个矩阵的乘法拆分为更小的子问题。
通过减少乘法的次数，Strassen 算法在递归树的深度上实现了一定的时间复杂度降低。
Strassen 算法的时间复杂度为 O(n^log2(7))，相较于经典矩阵乘法的 O(n^3)，在较大规模的矩阵乘法中有性能上的提升。
Coppersmith–Winograd 算法：
Coppersmith–Winograd 算法是进一步优化的矩阵乘法算法，它在 Strassen 算法的基础上引入了更多的线性代数技巧。
通过减小矩阵乘法的中间结果的计算，Coppersmith–Winograd 算法实现了更好的时间复杂度。
该算法的时间复杂度为 O(n^2.376)。

这两个算法的具体实现涉及到复杂的数学运算和递归结构，因此其实际应用相对较为复杂。在实际场景中，对于小规模的矩阵乘法，经典算法可能更为高效，而在大规模矩阵乘法中，这些优化算法才会显著发挥作用。选择算法时需要综合考虑数据规模、硬件平台等因素。

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生活黑客35 2019-06-11 加入

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