写点什么

最大为 N 的数字组合

作者:掘金安东尼
  • 2022-10-18
    广东
  • 本文字数:1277 字

    阅读完需:约 1 分钟

题目

给定一个按 非递减顺序 排列的数字数组 digits 。你可以用任意次数 digits[i] 来写的数字。例如,如果 digits = ['1','3','5'],我们可以写数字,如 '13', '551', 和 '1351315'。


返回 可以生成的小于或等于给定整数 n 的正整数的个数 。


示例 1:
输入:digits = ["1","3","5","7"], n = 100输出:20解释:可写出的 20 个数字是:1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 31, 33, 35, 37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77.
示例 2:
输入:digits = ["1","4","9"], n = 1000000000输出:29523解释:我们可以写 3 个一位数字,9 个两位数字,27 个三位数字,81 个四位数字,243 个五位数字,729 个六位数字,2187 个七位数字,6561 个八位数字和 19683 个九位数字。总共,可以使用D中的数字写出 29523 个整数。
示例 3:
输入:digits = ["7"], n = 8输出:1
提示:
1 <= digits.length <= 9digits[i].length == 1digits[i] 是从 '1' 到 '9' 的数digits 中的所有值都 不同 digits 按 非递减顺序 排列1 <= n <= 109
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题解

数位 DP 入门题:


题目要求返回通过 digits 中的数字可以生成的<=正整数 n 的正整数个数


如:digits=["1","3"] n=52 答案是:1,3,11,13,31,3


将 digits 转化为 int 数组类型的 nums


记 nums 的长度为 M,f(x)为 nums 能组成的位于[1,x]的数字个数,正整数 x 的长度为 N


我们可以大体将[1,x]的数字分为 3 个部分:


  1. 位数小于 N 的部分,这部分可通过计算得到,设此时数字的位数为 k,那么这部分个数为 ∑M^k(k∈[1,N-1])(nums 数字可以复用)

  2. 位数等于 N 的部分,且最高位比 x 最高位小,这部分也可通过计算得到,设 r 为 nums 在 x 对应位能取到的数字最大索引那么 x 对应位可以取到 digits[0,r],后面任意取都不会超过 x,因此这部分个数为 (r+1)*M^(N-p),其中 N-p 表示当前位后面还有多少位数

  3. 位数等于 N 的部分,且最高位等于 x 最高位,最高位处保守只能取到 digits[0,r-1],这部分个数为 r*M^(N-p)

  4. 还没完,还要累加最高位为 digits[r]的情况,这取决于后面数字的贡献数,参考下一位数属于哪种情况最后答案就是 f(n)


JS 实现:


/** * @param {string[]} digits * @param {number} n * @return {number} */var atMostNGivenDigitSet = function(digits, n) {    const s = n + '';    const K = s.length;    const dp = new Array(K+1).fill(0);    dp[K] = 1;
for(let i = K -1; i >= 0; --i) { let si = s[i]; for(let j=0; j < digits.length; j++) { if(digits[j] < si) { dp[i] += Math.pow(digits.length, K-i-1) } else if(digits[j] == si) { dp[i] += dp[i+1]; } } }
for(let k=1; k< K; ++k) { dp[0] += Math.pow(digits.length, k) }
return dp[0]};
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总结

动态规划是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的,通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。 动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题,动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。

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安东尼陪你度过漫长编程岁月~ 2022-07-14 加入

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