OpenGL 入门三：变换原理简介

1、背景

我们现实世界是三维的，但是展示到屏幕上只能是二维的，我们要用二维表示三维就必须解决一系列问题，涉及到多个坐标的转换，比如物体的坐标，观察者相机的坐标，渲染最终展示到屏幕的坐标等等。

在数学坐标系中（笛卡尔坐标系）原点在左下角，向上是 y 轴正方向，向右是 x 轴正方向；屏幕坐标系中横轴是 x 轴,纵轴是 y 轴，x 轴向右是正方向，y 轴向下是正方向，原点在左上角。

在 OpenGL3D 坐标系中使用笛卡尔坐标系来表示空间坐标位置：左下角是原点，向右和向上是正值，同时引入了第三个量就是 z 轴，z 轴方向指向我们自己，下面找的这张图就是 OpenGL 笛卡尔坐标系：

我们看看 OpenGL 中我们用到几种坐标系和空间：

• 对象空间，即现实世界的物体空间，它相对于每个对象自身；

• 相机/眼睛，空间是针对视点；

• 投影、剪裁空间是平面的屏幕或者视口；

• 切线空间，用于更高级的特效，比如如凹凸映射等；

• 归一化设备坐标(ndc)，表示从-1 到 1 归一化的 xyz 值。

2、3D 到 2D 过程

3D 到 2D 涉及到投影的问题，我们拍照就是典型的 3 维到 2 维的转换。投影分透视投影和正交投影，我们日常生活中都是基于透视投影，会有近大远小，还会有遮挡。相机拍照的过程涉及到一个视景体：

定义视景体非常简单通过定义一个几何体就可以了，空间中，任何平截头体内的物体都能够在屏幕上找到相应的位置，只要没有被其他物体覆盖就可以展示。Frustum 用于指定 field-of-view(FOV),比如相机的广角与长焦镜头，角度越大看到的景象越多，成像就越小.

上一篇绘制三角形我们使用 gl.glMatrixMode(GL_MODELVIEW)方法加载视图模型矩阵，我们还可以对模型视图矩阵进行平移和旋转操作:

    gl.glRotatef(xrotate, 1f, 0f, 0f);    gl.glRotatef(yrotate, 0f, 1f, 0f);

3、变换数学原理

3.1 平移

平移公式：

x'=x+Txy'=y+Ty

可以通过矩阵来实现：

3.2 旋转

旋转公式：

x'=xcos(a) - ysin(a)y'=xsin(a) + ycos(a)

矩阵表示：

传统上逆时针旋转是正值，顺时针旋转是负值

3.2 缩放

缩放公式：

x'=xSxy'=ySy

矩阵表示：

注意：进行变换时顺序很重要，比如进行平移和旋转时，顺序不一样得到的结果也不一样，一般是先旋转再平移.

4、总结

本文介绍了 OpenGL 相关的空间和坐标体系，以及从 3 维到 2 维的投影过程及成像原理，最后介绍了平移、缩放、旋转三种变换的数学及矩阵表示。