前言

对于这个计算机的基础问题，讲的人很多，讲的简单清楚的人太少。回顾自己的学习历程，发现《深入理解计算机系统》这本书，把这个问题讲的最浅显易懂；于是自己根据此书的讲解，进行了归纳总结，形成了此文。

1，基本概念（看看了解一下就好）

计算机通过将最高位设置为符号位来表示正负数：

符号位为 1 时，代表这个数为负数；符号位为 0 时，代表这个数为正数。

为了方便理解，本文中的例子全部用 4 位二进制数举例

原码：除符号位外的其他位，保存该二进制数的绝对值。

例如 1：0001 -1：1001

反码：正数的反码等于原码；

负数的反码就是其原码除符号位外，按位取反。

例如 1：0001 -1: 1110

补码：正数的补码等于其原码

负数的的补码等于反码加一

例如 1：0001 -1：1111

2，原码、补码

原码、反码、补码都可以通过符号位非常方便的表示正负数，但是在进行加法计算时，原码和反码都存在这样或那样的问题：

注: 计算机 cpu 的运算器只实现了加法器，而没有实现减法器，计算机是通过加上一个负数来做减法的

原码：

1 + 1 = 0001 + 0001 = 0010 = 2

1 + -1 = 0001 + 1001 = 1010 = -2

从上面的计算可以看出，原码无法通过加上一个负数来实现减法

反码

1 + -1 = 0001 + 1110 = 1111 = -0

1 + -2 = 0001 + 1010 = 1011 = -4

从上面的计算可以看出，反码也无法实现加上一个负数来实现减法

原码和反码都不能解决的事情，只有通过寻找一种可以完美支持件“减法“的二进制数的表示方法来解决！

3，补码

一个 4 位的二进制数能表示的数是有限的，从 0000 ~ 1111 ，0000 表示 0，1111 表示 - 1，最大值 7（0111），最小值-8（1000）。

看下面这组计算：

0000 + 0001 = 0 + 1 = 0001 = 1

0001 + 0001 = 1 + 1 = 0010 = 2

0010 + 0001 = 2 + 1 = 0011 = 3

...

0111 + 0001 = 7 + 1 = 1000 = -8

1000 + 0001 = -8 + 1 = 1001 = -7

1001 + 0001 = -7 + 1 = 1010 = -6

...

1111 + 0001 = -1 + 1 = 0000 = 0

0000 + 0001 = 0 + 1 = 0001 = 1

0000 每次加上 0001 ；当最大值 7 + 1 时，正溢出，结果为最小值-8；最小值-8 加上 8 后，又变成了 0000，就像钟表一样，循环往复。

比如说现在有一个数字 2，我们想让它变成 0，怎么办？

有两种方法:

1. 减去 2 个 1 即：0010 - 0010 = 0000

2. 加上 14 个 1 即：0010 + 1110 = 0000

我们可以总结出，当一个四位的二进制数 abcd 减去 另一个四位的二进制数 efgh ： abcd - efgh = abcd + (1111 + 1 - efgh) 。

efgh 和 (1111 + 1 - efgh) 对模 （1111 + 1）同余。

如果不太理解，就可以想象一个钟表的时针停在 10 点的位置，如果想让时针停在 8 点的位置，可以逆时针的旋转 2 个刻度，也可以顺时针的旋转 10 个刻度。

通过公式 abcd - efgh = abcd + (1111 + 1 - efgh) ，我们可以得出，如果计算机使用（1111 + 1 -efgh）来表示 -(efgh) ，就可以解决减法的问题。这就是我们补码的原理。

由于 1111 - efgh 等于 efgh 的反码 ，所以 efgh 的补码等于 efgh 的反码加上 1。