写点什么

前缀和算法练习集

作者:timerring
  • 2023-03-26
    山东
  • 本文字数:3984 字

    阅读完需:约 13 分钟

截断数组

给定一个长度为 n 的数组 a1,a2,…,an。


现在,要将该数组从中间截断,得到三个非空子数组。


要求,三个子数组内各元素之和都相等。


请问,共有多少种不同的截断方法?


输入格式


第一行包含整数 n。


第二行包含 n 个整数 a1,a2,…,an。


输出格式


输出一个整数,表示截断方法数量。


数据范围


前六个测试点满足


所有测试点满足


输入样例 1:


41 2 3 3
复制代码


输出样例 1:


1
复制代码


输入样例 2:


51 2 3 4 5
复制代码


输出样例 2:


0
复制代码


输入样例 3:


20 0
复制代码


输出样例 3:


0
复制代码


code


#include <iostream>#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;typedef long long LL;
int n;int s[N];
int main(){
cin >> n; for(int i = 1; i <= n; i ++ ) { int x; cin >> x; s[i] = s[i - 1] + x; } // 每个数组的元素和为原数组的1/3 if(s[n] % 3) puts("0"); else { LL res = 0; // 寻找两刀的位置 for(int j = 3, cnt = 0; j <= n; j ++ ) { // 第一刀满足三分之一,则记录该刀, 第一刀范围[1, n - 2] (cnt的意思就是 j - 2 位置前面有多少可以切第一刀的地方) if(s[j - 2] == s[n] / 3) cnt ++; // 第二刀满足后半部分三分之一,如果满足,则可以组成答案(第二刀跟前面的cnt个第一刀组合,所以总个数增加cnt个) if(s[n] - s[j - 1] == s[n] / 3) res += cnt; } printf("%lld\n", res); }
return 0;}
复制代码

K 倍区间

给定一个长度为 N 的数列,,如果其中一段连续的子序列 之和是 K 的倍数,我们就称这个区间 [i,j] 是 K 倍区间。


你能求出数列中总共有多少个 K 倍区间吗?


输入格式


第一行包含两个整数 N 和 K。


以下 N 行每行包含一个整数


输出格式


输出一个整数,代表 K 倍区间的数目。


数据范围


,


输入样例:


5 212345
复制代码


输出样例:


6
复制代码


R固定时,在 0 ~ R - 1 之间找到有多少个L满足(s[R] - s[L]) % k == 0,可转换为:s[R] % k == s[L] % k


即有多少个 S[L]S[R] 的余数相同


我们可以开一个新的数组,cnt[i],表示余数是i的数有多少个。


cnt[0]为什么要赋值为 1?


因为我们的思路是找到两个序列和s[R] % ks[L] % k的余数相同的个数,而我们的前缀和一般式不包含 s[0] 这个东西的,因为它的值是 0,在前缀和中没有意义,但是这道题有意义,样例里面前缀和序列 %k 之后是 1 1 0 0 1,两两比较,我们只能找到四个。


为什么少了两个?因为我们不一定需要两个序列,单个序列取余==0 也构成 k 倍区间,此时我们就要假设s[0] = 0是有意义的;


我们cnt[0]中存的是s[]中等于 0 的数的个数,由于s[0] = 0,所以最初等于 0 的有 1 个数,所以cnt[0] = 1


这里我进行了验算,发现这种方式确实符合题意。



cnt 的意义:存储模 k 的值,将其作为左端点(模 k 左端点)的数量 for 的意义:遍历每个端点,先将其作为模 k 右端点,根据其模 k 的值查看它有多少个模 k 左端点,即能形成多少个模 k 区间,然后将其作为模 k 左端点,数量加 1for 前 cnt[0] = 1 的意义:当遍历出首个为 k 倍的前缀和时,它不需要模 k 左端点即可形成模 k 区间,为满足通解将 0 作为其模 k 左端点,故 cnt[0] ++。


code:


#include<iostream>using namespace std;const int N=1000009;typedef long long LL;LL sum[N];LL cnt[N];int n,k;
int main(){ cin>> n >> k; for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%lld",&sum[i]); sum[i]=sum[i]+sum[i-1]; }

/*调试用,打印各求和区间的范围 for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=0;j<=i-1;j++) printf("[%d,%d] ",j+1,i); cout<<endl; } cout<<endl; */ LL res=0; // cnt[0]=1; /* 当R固定时,在L在[0,R-1]之间,所有sum[R]与sum[L]余数相等的数的个 先统计,再累加,然后代码是从i=1开始循环,所以实际上res这一行执行了n次, 而cnt执行了虽然也是n次,但是第n次时,统计的数已经没有意义了,所以只执行了 [1,n-1]的有效范围,0被忽视掉了! 所以必须加上cnt[0]=1这一句才满足“在L在[0,R-1]之间”(R指右边界,姑且认为是n)
如果觉得太麻烦,可以试试先累加,再统计,便于理解,俩行已经在下面注释掉 */ for(int i=1;i<=n;i++) { // res+=cnt[sum[i]%k];//先统计 出现与当前值求余的结果相同的元素个数 // cnt[sum[i]%k]++;//再累加当前的值求余的结果,并储存进cnt中
//下面解法是先累加在统计,不用考虑cnt[]的影响 //当R固定时,在L在[1,R]之间,所有sum[R]与sum[L-1]余数相等的数的个数
cnt[sum[i-1]%k]++;//先累加,sum[i-1]代表sum[L-1]的余数,cnt[sum[i-1]%k]代表其余数的个数 res+=cnt[sum[i]%k];//再统计,直接统计sum[i]就行了 //即判断所有sum[R]与sum[L]余数相等的数的个数
/*调试用:打印各个步骤的值 for(int i=0;i<k;i++) printf("%d ",cnt[i]); printf("res=%d\n",res); */ } printf("%lld",res);}
复制代码

前缀和

输入一个长度为 n 的整数序列。


接下来再输入 m 个询问,每个询问输入一对 l,r。


对于每个询问,输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。


输入格式


第一行包含两个整数 n 和 m。


第二行包含 n 个整数,表示整数数列。


接下来 m 行,每行包含两个整数 l 和 r,表示一个询问的区间范围。


输出格式


共 m 行,每行输出一个询问的结果。


数据范围


,


,


输入样例:


5 32 1 3 6 41 21 32 4
复制代码


输出样例:


3610
复制代码


code


#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;int s[N];
int query(int s[], int l, int r){ cout << s[r] - s[l - 1] << endl;}
int main(){ int m, n; cin >> n >> m;
for ( int i = 1; i <= n ; i ++ ) { int x; cin >> x; s[i] = s[i - 1] + x; }
while(m --) { int l, r; cin >> l >> r; query(s, l, r); } return 0;}
复制代码

子矩阵的和

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵,再输入 q 个询问,每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2,表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。


对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。


输入格式


第一行包含三个整数 n,m,q。


接下来 n 行,每行包含 m 个整数,表示整数矩阵。


接下来 q 行,每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2,表示一组询问。


输出格式


共 q 行,每行输出一个询问的结果。


数据范围


1≤n,m≤1000,


1≤q≤200000,


1≤x1≤x2≤n,


1≤y1≤y2≤m,


−1000≤矩阵内元素的值≤1000


输入样例:


3 4 31 7 2 43 6 2 82 1 2 31 1 2 22 1 3 41 3 3 4
复制代码


输出样例:


172721
复制代码


code


#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;int s[N][N];
int main(){ int n, m, q; cin >> n >> m >> q;
for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 1; j <= m; j ++) cin >> s[i][j];
for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 1; j <= m; j ++) s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
while( q -- ) { int x1, y1, x2, y2; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2; cout << s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1] << endl; } return 0;}
复制代码

激光炸弹

地图上有 N 个目标,用整数 , 表示目标在地图上的位置,每个目标都有一个价值


注意:不同目标可能在同一位置。


现在有一种新型的激光炸弹,可以摧毁一个包含 R×R 个位置的正方形内的所有目标。


激光炸弹的投放是通过卫星定位的,但其有一个缺点,就是其爆炸范围,即那个正方形的边必须和 x,y 轴平行。


求一颗炸弹最多能炸掉地图上总价值为多少的目标。


输入格式


第一行输入正整数 N 和 R,分别代表地图上的目标数目和正方形包含的横纵位置数量,数据用空格隔开。


接下来 N 行,每行输入一组数据,每组数据包括三个整数 Xi,Yi,Wi,分别代表目标的 x 坐标,y 坐标和价值,数据用空格隔开。


输出格式


输出一个正整数,代表一颗炸弹最多能炸掉地图上目标的总价值数目。


数据范围


,


输入样例:


2 10 0 11 1 1
复制代码


输出样例:


1
复制代码


思路:


二维前缀和。


code


#include <iostream>#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 5010;// 不用开两个数组,开一个先取值,后+=更新就行int s[N][N];
int main(){ int n, R; cin >> n >> R; // 当大于5001时,全覆盖即可。 R = min(5001, R);
while( n -- ) { int x, y, w; cin >> x >> y >> w; // 由于边缘线上的点无法被摧毁,为了方便聚焦中心,将整个图向右下移动一格 // 或者也可以理解为R * R的区域覆盖(R - 1) * (R - 1)个格子 x ++ , y ++; // 注意,多个目标可能在同一个点上,因此要累加。 s[x][y] += w; }
for(int i = 1; i <= 5001; i ++) for(int j = 1; j <= 5001; j ++) s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
// 按照R矩形遍历 int res = 0; for(int i = R; i <= 5001; i ++ ) for(int j = R ; j <= 5001; j ++) // 遍历寻找res的最大值 res = max(res, s[i][j] - s[i - R][j] - s[i][j - R] + s[i - R][j - R]);
cout << res; return 0;}
复制代码


发布于: 刚刚阅读数: 3
用户头像

timerring

关注

公众号【AIShareLab】 2022-07-14 加入

他日若遂凌云志

评论

发布
暂无评论
前缀和算法练习集_前缀和_timerring_InfoQ写作社区