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一：线性方程组

1.线性方程：

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2.解的情况：

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3.系数矩阵、增广矩阵：系数矩阵：方程组对应的系数组成的矩阵。增广矩阵：方程组对应的系数以及最后的常数组成的矩阵。

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4.求解线性方程组：基本思想：

初等行变换：

注：可以对比一下基本思想和初等行变换，其实本质是一样的，因为求结过程是一样的，所以对于等价的矩阵来说，其具有相同的解集。其实很重要的一点，就是行变换是可逆的：

5.结论：求解线性方程组的花间过程利用就是初等行变换。

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二：行化简与阶梯形矩阵

1.阶梯型以及行简化阶梯型

任何非 0 矩阵都可以行化简为阶梯形矩阵、但用不同的方法可以化为不同的阶梯形矩阵；然而每个矩阵只能化为唯一的行简化阶梯型矩阵。

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2.行化简算法五步法：其中前 4 步是用来产生阶梯型矩阵，第 5 步是产生行简化，详情见下面的例子。

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3.线性方程组的解

求解线性方程组的步骤：

前两步判断是否有解（其中无解形式类似于 0=b（b 不等于 0））、然后根据是否有自由变量分为唯一解和无穷多解。通解的例子：

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三：向量方程

1.向量空间

性质：即满足对可加性、数乘都是封闭的。<hr style=" border:solid; width:100px; height:1px;" color=#000000 size=1">

2.线性组合

其中平行四边形法则以及三角形法则不多说，想了解的自行百度查看。<hr style=" border:solid; width:100px; height:1px;" color=#000000 size=1">

3.向量方程和增广矩阵的关系

注：可以得出其实求解向量方程就是针对其增广矩阵（线性方程组）求解。<hr style=" border:solid; width:100px; height:1px;" color=#000000 size=1">

四：矩阵方程

1.本质：其实矩阵方程 Ax=b 的由来就是向量方程/向量的线性组合。------线代的另一种表示形式而已。

注：前面已经得出向量方程组和线性方程组的等价关系，如今向量方程组和矩阵方程也是相同的关系，从而得出如下结论：

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2.解的存在性：

其理解可以看前面的矩阵方程和向量方程/向量的线性组合关系，其实是一样的，而 b 其实是属于 A 的列向量的向量空间的，主要见第四章------这个有点遥远。

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五：线性方程组的解集

其实前面已经说过线性方程组的解的过程，这里主要从矩阵方程 Ax = b 出发。1.齐次线性方程组

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2.非齐次线性方程组这里只考虑非齐次线性方程组有多个解。1）先考虑 Ax=0，当然这是齐次的。

2）考虑 Ax=b

3）通解：一个向量+满足对应的齐次方程组通解。4）几何理解：其实就是在原来过原点的直线基础上进行了平移，所以同样有多个解。

3.相容方程组下的解集过程注：相容方程组表示至少有一个解。

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六：阶段总结

其实对于线性方程组、矩阵方程、向量方程/向量的线性组合来说其解都对应了无解、唯一解、无穷多解，现在主要对矩阵方程总结一下。无解： Ax=b，阶梯型矩阵下出现了 0=b（b 不等于 0）的情况；另外还有矩阵的秩判别情况，这个后面补充。有解： Ax=0 肯定有解。对于 Ax=0 的无穷解以及唯一解主要看行简化阶梯有无自由变量，没有自由变量就是 0 解，有自由变量就是过原点的直线/平面；Ax=b 有解的时候分为唯一解和无穷解，这个同样是看行简化阶梯有无自由变量，没有自由变量就是唯一解，有的话则无穷解是在 Ax=0 的无穷解的基础上进行平移，所以一般是不过原点的直线/平面。

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七：线性无关

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八：线性变换

概念： 定义域、值域/余定义域/像的集合等---看看就好本质： 向量在矩阵的作用下变成另一个向量。

线性变换的性质：

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九：平移+旋转+缩放（补充）

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参考链接：https://blog.csdn.net/qq_30490125/article/details/53091031

参考书籍：线性代数及其应用（原书第 5 版）书籍下载：https://download.csdn.net/download/qq_37534947/13115301