秒懂算法 | 莫队算法
01、基础莫队算法
莫队算法 = 离线 + 暴力 + 分块。
“离线”和“在线”的概念。在线是交互式的，一问一答；如果前面的答案用于后面的提问，称为“强制在线”。离线是非交互的，一次性读取所有问题，然后一起回答，"记录所有步，回头再做”。
基础的莫队算法是一种离线算法，它通常用于不修改只查询的一类区间问题，复杂度 O(n√n)，没有在线算法线段树或树状数组好，但是编码很简单。下面是一道莫队模板题。
HH 项链 洛谷 1972
题目描述：给定一个数量，询问某个区间内不同的数有多少个。
输入：第一行一个正整数 n，表示数列长度。第二行 n 个正整数 ai。第三行一个整数 m，表示 HH 询问的个数。接下来 m 行，每行两个整数 L,R，表示询问的区间。
输出：输出 m 行，每行一个整数，依次表示询问对应的答案。
题目询问区间内不同的数有多少个，即去重后数字的个数，本题的标准解法是线段树或树状数组。下面首先给出暴力法，然后再引导出莫队算法。
1. 暴力法
可以用 STL 的 unique()函数去重，一次耗时 O(n)，m 次的总复杂度 O(mn)。或者自己编码， 用扫描法统计数字出现的次数，这是一种简单易行的暴力法。
（1）查询一个区间有多少个不同的数字
定义 cnt[]，cnt[x]表示数字 x 出现的次数；定义答案为 ans，即区间内不同的 x 有多少个。
用指针 L、R 单向扫描，从数列的头扫到尾，L 最终落在查询区间的最左端，R 落在区间最右端。L 往右每扫一个数 x，就把它出现的次数 cnt[x]减去 1；R 往右每扫到一个数 x，就把它出现的次数 cnt[x]加上 1。扫描完区间后，cnt[x]的值就是 x 在区间内出现的次数。若 cnt[x]=1 说明 x 第 1 次出现，ans 加 1；若 cnt[x]变为 0，说明它从区间里消失了，ans 减 1。
下面的例子是统计区间[3, 7]内有多少不同的数字，初始指针 L=1，R=0。
▍图 1 统计一个区间
图(1)：L=1、R=0 时，cnt[4]=0, cnt[7]=0, cnt[9]=0…答案 ans=0。
图(2)：L=2、R=0 时，cnt[4]=-1, cnt[7]=0。
图(3)：L=3、R=2 时，cnt[4]=0, cnt[7]=0, cnt[9]=0…
图(4)：L=3、R=3 时，cnt[4]=0, cnt[7]=0, cnt[9]=1。出现了一个等于 1 的 cnt[9]，答案 ans = 1。
图(5)：L=3、R=7 时，cnt[4]=1, cnt[7]=0, cnt[9]=1, cnt[6]=2, cnt[3]=1,…其中 cnt[4], cnt[9], cnt[6], cnt[3]都出现过等于 1 的情况，所以答案 ans = 4。
（2）统计多个区间
从上面查询一个区间的讨论可以知道，在 L、R 移动过程中，当它们停留在区间[L, R]时，就得到了这个区间的答案 ans。那么对 m 个询问，只要不断移动 L、R 并与每个询问的区间匹配，就得到了 m 个区间询问的答案。
为了方便操作，可以把所有询问的区间按左端点排序；如果左端点相同，再按右端点排序。讨论以下情况：
1）简单情况，区间交错，区间[x1, y1]、[x2, y2]的关系是 x1 ≤ x2，y1 ≤ y2。例如下图中，查询两个区间[2, 6]、[4, 8]。
▍图 2 简单情况
图(1)L、R 停留在第 1 个区间上，得到了第 1 个区间的统计结果；图(2)L、R 停留在第 2 个区间上，得到了第 2 个区间的结果。m 次查询的 m 个区间，L、R 指针只需要从左头到右（单向移动）扫描整个数组一次即可，总复杂度 O(n)。
2）复杂情况，既有区间交错，又有区间包含。区间[x1, y1]、[x2, y2]的包含关系是指 x1 ≤ x2，y1 ≥ y2。例如下图中，区间[2, 9]包含了区间[3, 5]。此时 L 从头到尾单向扫描，而 R 指针却需要来回往复扫描，每次扫描的复杂度是 O(n)。m 次查询的总复杂度是 O(mn)。
▍图 3 复杂情况
R 往复移动的时候，R 往左每扫一个数 x，就把它出现的次数 cnt[x]减去 1。
2. 区间查询问题的几何解释
洛谷 P1972 的区间查询问题，可以概况为这样一种离线的几何模型：
（1）m 个询问对应 m 个区间，区间之间的转移，可以用 L、R 指针扫描，能以 O(1)的复杂度从区间[L,R]移动到[L±1, R±1]。
（2）把一个区间[L, R]看成平面上的一个坐标点(x, y)，L 对应 x，R 对应 y，那么区间的转移等同于平面上坐标点的转移，计算量等于坐标点之间的曼哈顿距离。注意，所有的坐标点(x, y)都满足 x ≤ y，即所有的点都分布在上半平面上。
（3）完成 m 个询问，等于从原点出发，用直线连接这 m 个点，形成一条“Hamilton 路径”，路径的长度就是计算量。若能找到一条最短的路径，计算量就最少。
Hamilton 最短路径问题是 NP 难度的，没有多项式复杂度的解法。那么有没有一种较优的算法，能快速得到较好的结果呢？
暴力法是按照坐标点(x, y)的 x 值排序而生成的一条路径，它不是好算法。例如下图(1)的简单情况，暴力法的顺序是好的；但是图(2)的复杂情况，暴力法的路径是(0, 0)-(2, 9)-(3, 5)，曼哈顿距离(2-0) + (9-0) + (3-2) + (9-5) = 16，不如另一条路径(0, 0)-(3, 5)-(2, 9)，曼哈顿距离 = 13。
▍图 4 暴力法的路径
下面介绍的莫队算法，提出了一种较好的排序方法。
3. 莫队算法
莫队算法把排序做了简单的修改，就把暴力法的复杂度从 O(mn)提高到 O(n√n)。
（1）暴力法的排序：把查询的区间按左端点排序，如果左端点相同，再按右端点排序。
（2）莫队算法的排序：把数组分块（分成√n 块），然后把查询的区间按左端点所在块的序号排序，如果左端点的块相同，再按右端点排序。
除了排序不一样，莫队算法和暴力法的其他步骤完全一样。
这个简单的修改是否真能提高效率？下面分析多种情况下莫队算法的复杂度。
（1）简单情况。区间交错，设区间[P1,y1]、[P2,y2]的关系是 P1<P2，y1≤y2，其中 P1、P2 是左端点所在的块。L、R 只需要从左到右扫描一次，m 次查询的总复杂度是 O(n)。
（2）复杂情况。区间包含，设两个区间查询[P1,y1]、[P2,y3]的关系是 P1=P2，y2≤y1。如下图所示。
▍图 5 按块排序后的区间包含
此时小区间[P2,y2]排在大区间 P1,y1]的前面，与暴力法正好相反。在区间内，右指针 R 从左到右单向移动，不再往复移动。而左指针 L 发生了回退移动，但是被限制在一个长为 的块内，每次移动的复杂度是 O(√n)的。m 次查询，每次查询左端点只需要移动 O(√n)次，右端点 R 共单向移动 O(n)次，总复杂度 O(√n)。
（3）特殊情况：m 个询问，端点都在不同的块上，此时莫队算法和暴力法是一样的。但此时 m 小于 ，总复杂度 O(mn) = O(n√n)。
4. 莫队算法的几何解释
莫队算法的几何意义见图 6(感谢莫涛对此图提出修改意见)，这张图透彻说明了莫队算法的原理。图中的每个黑点是一个查询。
图 6(1)是暴力法排序后的路径，所有的点按 x 坐标排序，在复杂情况下，路径沿 y 方向来回往复，震荡幅度可能非常大（纵向震荡，幅度 O(n)），导致路径很长。
图 6(2)是莫队算法排序后的路径，它把 x 轴分成多个区（分块），每个区内的点按 y 坐标排序，在区内沿 x 方向来回往复，此时震荡幅度被限制在区内（横向震荡，幅度 O(√n)），形成了一条比较短的路径，从而实现了较好的复杂度。
▍图 6 暴力法和莫队算法的几何对比
通过图 6(2)可以更清晰地计算莫队算法的复杂度：
（1）x 方向的复杂度。在一个区块内，沿着 x 方向一次移动最多√n，所有区块共有 m 次移动，总复杂度 O(m√n)。
（2）y 方向的复杂度。在每个区块内，沿着 y 方向单向移动，整个区块的 y 方向长度是 n，有√n 个区块，总复杂度 O(n√n)。
两者相加，总复杂度 O(m√n+n√n)，一般情况下题目会给出 n = m。
根据图 6 总结出莫队算法的核心思想：把暴力法的 y 方向的 O(n) 幅度的震荡，改为 x 方向的受限于区间的 O(√n)幅度的震荡，从而减少了路径的长度，提高了效率。
前面曾提到排序问题，对区间排序是先按左端点所在块排序，再按右端点排序，不是按右端点所在的块排序。原因解释如下：如果右端点也按块排序，几何图就需要画成一个方格图，方格中的点无法排序，实际的结果就是乱序。那么同一个方格内的点，在 y 方向上就不再是一直往上的复杂度为 O(n)的单向移动，而是忽上忽下的往复移动，导致路径更长，复杂度变差。见图 7 所演示的路径。
▍图 7 右端点按块排序是错误的
编码时，还可以对排序做一个小优化：奇偶性排序，让奇数块和偶数块的排序相反。例如左端点 L 都在奇数块，则对 R 从大到小排序；若 L 在偶数块，则对 R 从小到大排序（反过来也可以：奇数块从小到大，偶数块从大到小）。
这个小优化对照图 6(2)很容易理解，图中路径在两个区块之间移动时，是从左边区块的最大 y 值点移动到右边区块的最小 y 值点，跨度很大。用奇偶性排序后，奇数块的点从最大 y 值到最小 y 值点排序，偶数块从最小 y 值点到最大 y 值点排序；那么奇数块最后遍历的点是最小 y 值点，然后右移到偶数块的最小 y 值点，这样移动的距离是最小的。从偶数块右移到奇数块的情况类似。
下面是洛谷 P1972 的代码。莫队算法和暴力法唯一不同的地方在比较函数 cmp()中。
02、带修改的莫队
上一节的基础莫队算法只用于无修改只查询的区间问题，如果是比较简单的“单点修改”，也能应用莫队算法，得到复杂度 O(mn2/3)的算法。
下面的例题是“单点修改 + 区间询问”。
数颜色 洛谷 P1903
题目描述：有 n 个数（其中有些数可能相同），摆成一排。有以下操作：
Q L R 询问：从第 L 到第 R 个数，有几个不同的数。
R P Col 修改：把第 P 个数改成 Col。
输入：第 1 行两个整数 n，m，分别代表初始数量以及操作个数。
第 2 行 n 个整数，分别代表初始数列中第 i 个数。
第 3 行到第 2 + m 行，每行分别一个操作。
输出：对于每一个询问，输出一个数字，代表第 L 到第 R 个数共有几个不同的数。
如果用莫队算法求解，必须离线，先把查询操作和修改操作分别记录下来。记录查询操作的时候，增加一个变量，记录本次查询前做了多少次修改。
如果没有修改，就是基础莫队，一个查询的左右端点是[L, R]。加上修改之后，一个查询表示为(L, R, t)，t 表示在查询[L, R]前进行了 t 次修改操作。可以把 t 理解为“时间”，t 的范围是 1 ≤ t ≤ m，m 是操作次数。
从一个查询移动到另一个查询，除了 L、R 发生变化外，还要考虑 t 的变化。如果两个查询的 t 相同，说明它们是基于同样的数列；如果 t 不同，两个查询所对应的数列是不同的，那么就需要补上这变化（直接用暴力法编程）。两个查询的 t 相差越小，它们对应的数列差别越小，计算量也越小，所以对 t 排序能减少计算量。
与基础莫队一样，也可以给出带修改莫队的几何解释。基础莫队的左右端点[L, R]，对应平面上的点(x,y) ，带修改的莫队(L, R, t)对应立体空间的(x,y,z)。每个查询对应立体空间的一个点，那么从一个查询到另一个查询，就是从一个点(x1,y1,z1)到另一个点(x2,y2,z2)。计算复杂度仍然是两点之间的曼哈顿距离。
模仿基础莫队的分块思路。定义带修改莫队的排序，按以下步骤执行：
（1）按左端点 L 排序。若左端点 L 在同一个块，执行（2）。L 对应 x 轴。
（2）按右端点 R 排序。若右端点 R 在同一个块，执行 （3）。R 对应 y 轴。
（3）按时间 t 排序。t 对应 z 轴。
左端点 L 所在的块是第 1 查询关键字，右端点 R 所在的块是第 2 关键字，时间 t 是第 3 关键字。
x 方向和 y 方向的分块，把 x-y 平面分成了方格，代表查询的点在方格内、方格间移动。
根据带修改莫队的几何意义，计算算法的复杂度。这里先不采用 的分块方法，而是设一个分块的大小是 B，共有 n/B 个分块。计算 x、y、z 三个方向上的复杂度：
（1）x 方向的复杂度（左端点指针 L）。在一个区块内，沿着 x 方向一次最多移动 B，所有的区块共有 m 次移动，总计算量 =mB。
（2）y 方向的复杂度（右端点指针 R）。在一个区块内，沿着 y 方向一次最多移动 B，所有的区块共有 m 次移动，总计算量 =mB。
作为对照，如果分块 B=√n，复杂度是 O(mn)，退化成了暴力法的复杂度。
03、树上莫队
基础莫队和带修改的莫队操作的都是一维数组。基于其他的数据结构的问题，如果能转换成一维数组而且是区间问题，那么也能应用莫队算法。
典型的例子是树形结构上的路径问题，可以利用“欧拉序”把整棵树的结点顺序转化为一个一维数组，路径问题也变成了区间问题，就能利用莫队算法求解。下面的简单题体现了这个思路。
Count on a tree II 洛谷 SP10707
题目描述：给定有 n 个结点的数，每个结点有一种颜色。m 次询问，每次询问给出两个结点 u、v，回答从 u 到 v 的路径上有多少个不同颜色的结点。
输入：第一行是 n 和 m，第二行有 n 个整数，第 i 个整数表示第 i 个结点的颜色。下面 n-1 行，每行有两个整数 u、v，表示一个边(u, v)。下面 m 行，每行有两个整数 u、v，表示一个询问，回答从结点 u 到 v 的路径上有多少个不同颜色的结点。
输出：对每个询问，输出一个整数。
数据范围：1 ≤ n ≤ 4×104，1 ≤ m ≤105
数据范围：1≤n≤2×105，1≤m≤105。
思路：
把树的结点用欧拉序转为一维数组
用 DFS 遍历树的结点，有两种遍历方式，得到两种欧拉序：
（1）在每个结点第一次进和最后一次出都加进序列；
（2）每遇到一个结点就把它加进序列。
这里用第（1）种形式的欧拉序。下图的例子，欧拉序：{1, 2, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 3, 4, 8, 8, 4, 1}。
▍图 8 一棵树
(u, v)上的路径有哪些结点？首先计算出 u、v 的 lca(u, v)（最近公共祖先），然后讨论两种情况：
（1）lca(u, v) = u 或 lca(u, v) = v，即 u 在 v 的子树中，或者 v 在 u 的子树中。例如 u = 1, v = 6，区间是{1, 2, 2, 3, 5, 5, 6}，出现 2 次的结点{2, 5}不属于这条路径，因为它进来了又出去了。只出现一次的结点属于这条路径，即{1, 3, 6}。
（2）lca(u, v) ≠ u 且 lca(u, v) ≠ v，即 u 和 v 都不在对方的子树上。此时 u、v 之间的路径需要通过它们的 lca，但是 lca 没有出现在 u 和 v 的欧拉序区间内，需要添上。例如 u = 5，v = 8，区间是{5, 6, 6, 7, 7, 3, 4, 8}，去掉出现 2 次的结点{6, 7}，剩下{5, 3, 4, 8}，再加上它们的 lca = 1，得路径{5, 3, 4, 8, 1}。再例如 u = 5，v = 7，区间是{5, 6, 6, 7}，去掉 6，剩下{5, 7}，再加上它们的 lca = 3，得路径{5, 7, 3}。
本题的求解步骤
（1）求树的欧拉序，得到一维数组；求任意两个点的 lca。编码时用树链剖分（做两次 DFS）求欧拉序和 lca。
（2）把题目的查询(u, v)看成一维数组上的查询。题目要求查询(u, v)内不同的颜色，首先查区间(u, v)内只出现 1 次的结点，并加上 u、v 的 lca，得到路径上的所有结点，然后在这些结点中统计只出现 1 次的数字。
（3）用莫队算法，离线处理所有的查询，然后一起输出。注意分块时，本题的规模是 2n，因为每个结点在欧拉序中出现 2 次；另外每个结点的颜色数值很大，需要离散化。
版权声明: 本文为 InfoQ 作者【TiAmo】的原创文章。
原文链接:【http://xie.infoq.cn/article/94d0f2911f4b4ca72d5043955】。文章转载请联系作者。
有能力爱自己，有余力爱别人！ 2022-06-16 加入
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