六、证明：一个算法的运行时间为θ(g(n))当且仅当其最坏情况运行时间为 O(g(n))，且其最好情况运行时间为Ω(g(n)) 。

文心一言：

chatgpt：

要证明「一个算法的运行时间为θ(g(n))当且仅当其最坏情况运行时间为 O(g(n))，且其最好情况运行时间为Ω(g(n))」，需要证明两个方向：

1. 如果算法的运行时间为θ(g(n))，则它的最坏情况运行时间为 O(g(n))，且最好情况运行时间为Ω(g(n))。

2. 如果算法的最坏情况运行时间为 O(g(n))，且最好情况运行时间为Ω(g(n))，则它的运行时间为θ(g(n))。

证明：

（1）首先证明第一部分，即如果算法的运行时间为θ(g(n))，则它的最坏情况运行时间为 O(g(n))，且最好情况运行时间为Ω(g(n))。

根据定义，如果算法的运行时间为θ(g(n))，则存在正常数 c1 和 c2，使得对于足够大的 n，有下面的不等式成立：

c1 * g(n) <= T(n) <= c2 * g(n)

其中，T(n) 表示算法在 n 大小的输入上的运行时间。由此可以推出：

• 当 n 趋近于无穷大时，T(n) 的增长率是与 g(n) 相同的。

• 存在正常数 k1 和 k2，使得对于足够大的 n，有 k1 * g(n) <= T(n) 和 T(n) <= k2 * g(n)。

接下来分别证明最坏情况和最好情况的复杂度。

对于最坏情况复杂度，由定义可知该复杂度不超过运行时间的上界。因此，如果 T(n) = O(g(n))，则最坏情况下的复杂度也是 O(g(n))。

对于最好情况复杂度，根据第一个性质，当 n 趋近于无穷大时，T(n) 的增长率是与 g(n) 相同的。因此，最好情况下的复杂度为 Ω(g(n))。

综上所述，算法的运行时间为θ(g(n))时，它的最坏情况运行时间为 O(g(n))，且最好情况运行时间为Ω(g(n))。

（2）然后证明第二部分，即如果算法的最坏情况运行时间为 O(g(n))，且最好情况运行时间为Ω(g(n))，则它的运行时间为θ(g(n))。

由于最坏情况和最好情况的复杂度都分别受到 g(n) 上界和下界的限制，因此算法的复杂度必然介于两者之间。具体而言，存在正常数 c3 和 c4，使得对于足够大的 n，有下面的不等式成立：

c3 * g(n) <= T(n) <= c4 * g(n)

因此，算法的复杂度为θ(g(n))。

综上所述，一个算法的运行时间为θ(g(n))当且仅当其最坏情况运行时间为 O(g(n))，且其最好情况运行时间为Ω(g(n))。

七、证明：o(g(n)) ∩ ω(g(n)) 为空集。

文心一言：

chatgpt：

要证明 o(g(n)) ∩ ω(g(n)) 为空集，我们需要先知道这两个符号的含义。

o 表示小于等于，但不是渐进紧密的小于等于；也就是说，对于一个函数 f(n)，如果 g(n) 是严格增长的（即当 n 趋近于无穷大时，g(n) 的增长速度比任何正数都要快），并且存在正整数 n0 和正实数 c，使得当 n > n0 时，有 0 <= f(n) < c * g(n) 成立，则可以表示为 f(n) = o(g(n))。

而 ω 表示大于等于，但不是渐进紧密的大于等于；也就是说，对于一个函数 f(n)，如果 g(n) 是严格减少的（即当 n 趋近于无穷大时，g(n) 的增长速度比任何负数都要慢），并且存在正整数 n0 和正实数 c，使得当 n > n0 时，有 0 <= c * g(n) < f(n) 成立，则可以表示为 f(n) = ω(g(n))。

根据定义可知：

• 如果 f(n) = o(g(n))，则不存在正整数 n0 ，使得对于所有的 n > n0 都有 f(n) > c * g(n) 成立。换句话说，f(n) 的增长速度比 g(n) 快得足够慢。

• 如果 f(n) = ω(g(n))，则不存在正整数 n0 ，使得对于所有的 n > n0 都有 c * g(n) > f(n) 成立。换句话说，f(n) 的增长速度比 g(n) 慢得足够慢。

因此，如果 o(g(n)) ∩ ω(g(n)) 不为空集，则存在一个函数 f(n)，使得 f(n) = o(g(n)) 且 f(n) = ω(g(n))。

根据定义可知，f(n) = o(g(n)) 表示当 n 趋近于无穷大时，f(n) 的增长速度比 g(n) 快得足够慢，而 f(n) = ω(g(n)) 表示当 n 趋近于无穷大时，f(n) 的增长速度比 g(n) 慢得足够慢。两者矛盾，因此 o(g(n)) ∩ ω(g(n)) 为空集。