本文分享自华为云社区《[Python图像处理] 二十二.Python图像傅里叶变换原理及实现》，作者：eastmount。

本文主要讲解图像傅里叶变换的相关内容，在数字图像处理中，有两个经典的变换被广泛应用——傅里叶变换和霍夫变换。其中，傅里叶变换主要是将时间域上的信号转变为频率域上的信号，用来进行图像除噪、图像增强等处理。

图像傅里叶变换原理

傅里叶变换（Fourier Transform，简称 FT）常用于数字信号处理，它的目的是将时间域上的信号转变为频率域上的信号。随着域的不同，对同一个事物的了解角度也随之改变，因此在时域中某些不好处理的地方，在频域就可以较为简单的处理。同时，可以从频域里发现一些原先不易察觉的特征。傅里叶定理指出“任何连续周期信号都可以表示成（或者无限逼近）一系列正弦信号的叠加。”

下面引用李老师“Python+OpenCV 图像处理”中的一个案例，非常推荐同学们去学习。如下图所示，他将某饮料的制作过程的时域角度转换为频域角度。

绘制对应的时间图和频率图如下所示：

傅里叶公式如下，其中 w 表示频率，t 表示时间，为复变函数。它将时间域的函数表示为频率域的函数 f(t)的积分。

傅里叶变换认为一个周期函数（信号）包含多个频率分量，任意函数（信号）f(t)可通过多个周期函数（或基函数）相加合成。从物理角度理解，傅里叶变换是以一组特殊的函数（三角函数）为正交基，对原函数进行线性变换，物理意义便是原函数在各组基函数的投影。如下图所示，它是由三条正弦曲线组合成。

傅里叶变换可以应用于图像处理中，经过对图像进行变换得到其频谱图。从谱频图里频率高低来表征图像中灰度变化剧烈程度。图像中的边缘信号和噪声信号往往是高频信号，而图像变化频繁的图像轮廓及背景等信号往往是低频信号。这时可以有针对性的对图像进行相关操作，例如图像除噪、图像增强和锐化等。

二维图像的傅里叶变换可以用以下数学公式（15-3）表达，其中 f 是空间域（Spatial Domain）)值，F 是频域（Frequency Domain）值

对上面的傅里叶变换有了大致的了解之后，下面通过 Numpy 和 OpenCV 分别讲解图像傅里叶变换的算法及操作代码。

Numpy 实现傅里叶变换

Numpy 中的 FFT 包提供了函数 np.fft.fft2()可以对信号进行快速傅里叶变换，其函数原型如下所示，该输出结果是一个复数数组（Complex Ndarry）。

fft2(a, s=None, axes=(-2, -1), norm=None)

• a 表示输入图像，阵列状的复杂数组

• s 表示整数序列，可以决定输出数组的大小。输出可选形状（每个转换轴的长度），其中 s[0]表示轴 0，s[1]表示轴 1。对应 fit(x,n)函数中的 n，沿着每个轴，如果给定的形状小于输入形状，则将剪切输入。如果大于则输入将用零填充。如果未给定’s’，则使用沿’axles’指定的轴的输入形状

• axes 表示整数序列，用于计算 FFT 的可选轴。如果未给出，则使用最后两个轴。“axes”中的重复索引表示对该轴执行多次转换，一个元素序列意味着执行一维 FFT

• norm 包括 None 和 ortho 两个选项，规范化模式（请参见 numpy.fft）。默认值为无

Numpy 中的 fft 模块有很多函数，相关函数如下：

#计算一维傅里叶变换 numpy.fft.fft(a, n=None, axis=-1, norm=None)#计算二维的傅里叶变换 numpy.fft.fft2(a, n=None, axis=-1, norm=None)#计算 n 维的傅里叶变换 numpy.fft.fftn()#计算 n 维实数的傅里叶变换 numpy.fft.rfftn()#返回傅里叶变换的采样频率 numpy.fft.fftfreq()#将 FFT 输出中的直流分量移动到频谱中央 numpy.fft.shift()

下面的代码是通过 Numpy 库实现傅里叶变换，调用 np.fft.fft2()快速傅里叶变换得到频率分布，接着调用 np.fft.fftshift()函数将中心位置转移至中间，最终通过 Matplotlib 显示效果图。

# -*- coding: utf-8 -*-import cv2 as cvimport numpy as npfrom matplotlib import pyplot as plt
#读取图像img = cv.imread('test.png', 0)
#快速傅里叶变换算法得到频率分布f = np.fft.fft2(img)
#默认结果中心点位置是在左上角,#调用fftshift()函数转移到中间位置fshift = np.fft.fftshift(f)       
#fft结果是复数, 其绝对值结果是振幅fimg = np.log(np.abs(fshift))
#展示结果plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Fourier')plt.axis('off')plt.subplot(122), plt.imshow(fimg, 'gray'), plt.title('Fourier Fourier')plt.axis('off')plt.show()

输出结果如图 15-2 所示，左边为原始图像，右边为频率分布图谱，其中越靠近中心位置频率越低，越亮（灰度值越高）的位置代表该频率的信号振幅越大。

Numpy 实现傅里叶逆变换

下面介绍 Numpy 实现傅里叶逆变换，它是傅里叶变换的逆操作，将频谱图像转换为原始图像的过程。通过傅里叶变换将转换为频谱图，并对高频（边界）和低频（细节）部分进行处理，接着需要通过傅里叶逆变换恢复为原始效果图。频域上对图像的处理会反映在逆变换图像上，从而更好地进行图像处理。

图像傅里叶变化主要使用的函数如下所示：

#实现图像逆傅里叶变换，返回一个复数数组 numpy.fft.ifft2(a, n=None, axis=-1, norm=None)#fftshit()函数的逆函数，它将频谱图像的中心低频部分移动至左上角 numpy.fft.fftshift()#将复数转换为 0 至 255 范围 iimg = numpy.abs(逆傅里叶变换结果)

下面的代码分别实现了傅里叶变换和傅里叶逆变换。

# -*- coding: utf-8 -*-import cv2 as cvimport numpy as npfrom matplotlib import pyplot as plt
#读取图像img = cv.imread('Lena.png', 0)
#傅里叶变换f = np.fft.fft2(img)fshift = np.fft.fftshift(f)res = np.log(np.abs(fshift))
#傅里叶逆变换ishift = np.fft.ifftshift(fshift)iimg = np.fft.ifft2(ishift)iimg = np.abs(iimg)
#展示结果plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')plt.axis('off')plt.subplot(132), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('Fourier Image')plt.axis('off')plt.subplot(133), plt.imshow(iimg, 'gray'), plt.title('Inverse Fourier Image')plt.axis('off')plt.show()

输出结果如图 15-4 所示，从左至右分别为原始图像、频谱图像、逆傅里叶变换转换图像。

OpenCV 实现傅里叶变换

OpenCV 中相应的函数是 cv2.dft()和用 Numpy 输出的结果一样，但是是双通道的。第一个通道是结果的实数部分，第二个通道是结果的虚数部分，并且输入图像要首先转换成 np.float32 格式。其函数原型如下所示：

dst = cv2.dft(src, dst=None, flags=None, nonzeroRows=None)

• src 表示输入图像，需要通过 np.float32 转换格式

• dst 表示输出图像，包括输出大小和尺寸

• flags 表示转换标记，其中 DFT _INVERSE 执行反向一维或二维转换，而不是默认的正向转换；DFT _SCALE 表示缩放结果，由阵列元素的数量除以它；DFT _ROWS 执行正向或反向变换输入矩阵的每个单独的行，该标志可以同时转换多个矢量，并可用于减少开销以执行 3D 和更高维度的转换等；DFT _COMPLEX_OUTPUT 执行 1D 或 2D 实数组的正向转换，这是最快的选择，默认功能；DFT _REAL_OUTPUT 执行一维或二维复数阵列的逆变换，结果通常是相同大小的复数数组，但如果输入数组具有共轭复数对称性，则输出为真实数组

• nonzeroRows 表示当参数不为零时，函数假定只有 nonzeroRows 输入数组的第一行（未设置）或者只有输出数组的第一个（设置）包含非零，因此函数可以处理其余的行更有效率，并节省一些时间；这种技术对计算阵列互相关或使用 DFT 卷积非常有用

注意，由于输出的频谱结果是一个复数，需要调用 cv2.magnitude()函数将傅里叶变换的双通道结果转换为 0 到 255 的范围。其函数原型如下：

cv2.magnitude(x, y)

• x 表示浮点型 X 坐标值，即实部

• y 表示浮点型 Y 坐标值，即虚部

• 最终输出结果为幅值，即：

完整代码如下所示：

# -*- coding: utf-8 -*-import numpy as npimport cv2from matplotlib import pyplot as plt
#读取图像img = cv2.imread('Lena.png', 0)
#傅里叶变换dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
#将频谱低频从左上角移动至中心位置dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
#频谱图像双通道复数转换为0-255区间result = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0], dft_shift[:,:,1]))
#显示图像plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap = 'gray')plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()

输出结果如图 15-5 所示，左边为原始“Lena”图，右边为转换后的频谱图像，并且保证低频位于中心位置。

OpenCV 实现傅里叶逆变换

在 OpenCV 中，通过函数 cv2.idft()实现傅里叶逆变换，其返回结果取决于原始图像的类型和大小，原始图像可以为实数或复数。其函数原型如下所示：

dst = cv2.idft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]])

• src 表示输入图像，包括实数或复数

• dst 表示输出图像

• flags 表示转换标记

• nonzeroRows 表示要处理的 dst 行数，其余行的内容未定义（请参阅 dft 描述中的卷积示例）

完整代码如下所示：

# -*- coding: utf-8 -*-import numpy as npimport cv2from matplotlib import pyplot as plt
#读取图像img = cv2.imread('Lena.png', 0)
#傅里叶变换dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)dftshift = np.fft.fftshift(dft)res1= 20*np.log(cv2.magnitude(dftshift[:,:,0], dftshift[:,:,1]))
#傅里叶逆变换ishift = np.fft.ifftshift(dftshift)iimg = cv2.idft(ishift)res2 = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1])
#显示图像plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')plt.axis('off')plt.subplot(132), plt.imshow(res1, 'gray'), plt.title('Fourier Image')plt.axis('off')plt.subplot(133), plt.imshow(res2, 'gray'), plt.title('Inverse Fourier Image')plt.axis('off')plt.show()

输出结果如图 15-6 所示，第一幅图为原始“Lena”图，第二幅图为傅里叶变换后的频谱图像，第三幅图为傅里叶逆变换，频谱图像转换为原始图像的过程。

总结

傅里叶变换的目的并不是为了观察图像的频率分布（至少不是最终目的），更多情况下是为了对频率进行过滤，通过修改频率以达到图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、压缩加密等目的。下一篇文章，作者将结合傅里叶变换和傅里叶逆变换讲解它的应用。

参考文献：

• 《数字图像处理》（第 3 版），冈萨雷斯著，阮秋琦译，电子工业出版社，2013 年.

• 《数字图像处理学》（第 3 版），阮秋琦，电子工业出版社，2008 年，北京.

• 《OpenCV3 编程入门》，毛星云，冷雪飞，电子工业出版社，2015，北京.

• 百度百科-傅里叶变换

• 网易云课堂-高登教育 Python+OpenCV 图像处理

• 安安 zoe-图像的傅里叶变换

• daduzimama-图像的傅里叶变换的迷思----频谱居中
  

• tenderwx-数字图像处理-傅里叶变换在图像处理中的应用

• 小小猫钓小小鱼-深入浅出的讲解傅里叶变换（真正的通俗易懂）

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