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贪心算法思想与练习

作者:timerring
  • 2023-03-23
    山东
  • 本文字数:3644 字

    阅读完需:约 12 分钟

文章和代码已经归档至【Github 仓库:algorithms-notes】或者公众号【AIShareLab】回复 算法笔记 也可获取。


贪心的核心思想:最优解,短视。


按照数据规模猜测贪心,一般在是排序,是 O(n)的做法,扫描一边,1000 左右是两重循环,100 左右是三重循环。

股票买卖 II

给定一个长度为 N 的数组,数组中的第 i 个数字表示一个给定股票在第 i 天的价格。


设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票)。


注意:你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。


输入格式


第一行包含整数 N,表示数组长度。


第二行包含 N 个不大于 10000 的正整数,表示完整的数组。


输出格式


输出一个整数,表示最大利润。


数据范围


输入样例 1:


67 1 5 3 6 4
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输出样例 1:


7
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输入样例 2:


51 2 3 4 5
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输出样例 2:


4
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输入样例 3:


57 6 4 3 1
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输出样例 3:


0
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样例解释


样例 1:在第 2 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 3 天(股票价格 = 5)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。随后,在第 4 天(股票价格 = 3)的时候买入,在第 5 天(股票价格 = 6)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。共得利润 4+3 = 7。


样例 2:在第 1 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 5 天 (股票价格 = 5)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票,之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易,你必须在再次购买前出售掉之前的股票。


样例 3:在这种情况下, 不进行任何交易, 所以最大利润为 0。


贪心思路:


任何跨度大于一天的交易都可以拆分成跨度等于一天的交易(中间部分的买和卖相互抵消了)。所以最优解只需要聚焦在这跨度为 1 的交易上即可,那么基本思路就是如果后一天价格大于前一天,则交易一次。


code


#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;int price[N];

int main(){
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; i ++ )scanf("%d", &price[i]);
int res = 0; for(int i = 0; i + 1 < n; i ++ ) { int dt = price[i + 1] - price[i]; if(dt > 0) res += dt; }
printf("%d", res);}
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货仓选址

在一条数轴上有 N 家商店,它们的坐标分别为


现在需要在数轴上建立一家货仓,每天清晨,从货仓到每家商店都要运送一车商品。


为了提高效率,求把货仓建在何处,可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。


输入格式


第一行输入整数 N。


第二行 N 个整数


输出格式


输出一个整数,表示距离之和的最小值。


数据范围


,


输入样例:


46 2 9 1
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输出样例:


12
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思路:


中位数有非常优秀的性质,比如说在这道题目中,每一个点到中位数的距离,都是满足全局的最有性,而不是局部最优性。


具体的来说,我们设在仓库左边的所有点,到仓库的距离之和为 p,右边的距离之和则为 q,那么我们就必须让 p+q 的值尽量小。


当仓库向左移动的话,p 会减少 x,但是 q 会增加 n−x,所以说当为仓库中位数的时候,p+q 最小。



每次只关注局部最优解,即可推出全局最优解。


code


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;
const int N = 100010;int x[N];int n;

int main(){ scanf("%d", &n); for(int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &x[i]); // 首先需要进行排序 sort(x, x + n);
// 这里求中点采用下取整的方式, // 可以举例eg:n = 3,则0 1 2 3,中点为[3/2]=1即可(在两者之间即为最短)。 int c = x[n / 2]; LL res = 0; for (int i = 0; i < n; i ++ ) res += abs(x[i] - c);
printf("%lld", res); return 0;}
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糖果传递

有 n 个小朋友坐成一圈,每人有 a[i] 个糖果。


每人只能给左右两人传递糖果。


每人每次传递一个糖果代价为 1。


求使所有人获得均等糖果的最小代价。


输入格式


第一行输入一个正整数 n,表示小朋友的个数。


接下来 n 行,每行一个整数 a[i],表示第 i 个小朋友初始得到的糖果的颗数。


输出格式


输出一个整数,表示最小代价。


数据范围


,


,


数据保证一定有解。


输入样例:


41254
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输出样例:


4
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思路:


题目可以绘图如下:



其中:



那么可以看到:




由上式,可以归纳出:



那么原目标函数可以化简为:



这样就转换成与上一题一样的思想了。


code


#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1000010;
int n;int a[N];LL c[N];
int main(){ scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
LL sum = 0; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) sum += a[i];
LL avg = sum / n; for (int i = n; i > 1; i -- ) { c[i] = c[i + 1] + avg - a[i]; } c[1] = 0;
sort(c + 1, c + n + 1);
LL res = 0; // 由于i从1开始,因此取中点时,c[(n + 1) / 2],相当于上取整 for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res += abs(c[i] - c[(n + 1) / 2]);
printf("%lld\n", res);
return 0;}
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雷达设备

假设海岸是一条无限长的直线,陆地位于海岸的一侧,海洋位于另外一侧。


每个小岛都位于海洋一侧的某个点上。


雷达装置均位于海岸线上,且雷达的监测范围为 d,当小岛与某雷达的距离不超过 d 时,该小岛可以被雷达覆盖。


我们使用笛卡尔坐标系,定义海岸线为 x 轴,海的一侧在 x 轴上方,陆地一侧在 x 轴下方。


现在给出每个小岛的具体坐标以及雷达的检测范围,请你求出能够使所有小岛都被雷达覆盖所需的最小雷达数目。


输入格式


第一行输入两个整数 n 和 d,分别代表小岛数目和雷达检测范围。


接下来 n 行,每行输入两个整数,分别代表小岛的 x,y 轴坐标。


同一行数据之间用空格隔开。


输出格式


输出一个整数,代表所需的最小雷达数目,若没有解决方案则所需数目输出 −1。


数据范围


,


输入样例:


3 21 2-3 12 1
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输出样例:


2
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思路:



给定若干区间,最少选择多少个点,可以使每个区间上最少选一个点?


贪心策略:


  • 将所有区间按右端点从小到大排序;

  • 依次考虑每个区间:

  • 如果当前区间包含最后一个选择的点,则直接跳过;

  • 如果当前区间不包含最后一个选择的点,则在当前区间的右端点的位置选一个新的点;


证明:


cnt:算法得到的结果

opt:最优解

最优解表示所有方法的最小值,因此

再证明

  • 所有可行解必然都大于等于 cnt:选了 cnt 个点,则意味着必然存在 cnt 个互不相交的区间。


首先上述做法一定可以保证所有区间都至少包含一个点。


然后我们再证明这样选出的点的数量是最少的,不妨设选出的点数是 m:


按照上述做法,我们选择的点都是某个区间的右端点,而且由于区间按右端点排好序了,所以我们选择的点也是排好序的;


只有在当前区间和上一个点所对应的区间是没有交集时,我们才会选择一个新点,所以所有选出的点所对应的区间是如下图所示的情况,两两之间没有交集。


所以我们找到了 m 个两两之间没有交集的区间,因此我们至少需要选 m 个点。而且通过上述做法,我们可以只选 m 个点。因此最优解就是 m。


时间复杂度


  • 计算每个坐标所对应的区间,需要 O(n)的计算量;

  • 将所有区间排序需要 O(nlogn) 的计算量;

  • 扫描所有区间需要 O(n)的计算量;


所以总共的时间复杂度是 O(nlogn)。


code:


#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, d;// 用stl的pair也可以,这里自己定义结构 segment 了struct Segment{ double l, r; // 重载比较符 bool operator< (const Segment& t) const { return r < t.r; }}seg[N];
int main(){ scanf("%d%d", &n, &d);
bool failed = false; for (int i = 0; i < n; i ++ ) { int x, y; scanf("%d%d", &x, &y); // 离海岸线大于d,则不可能存在,因此失败 if (y > d) failed = true; else { // 计算线段长度 double len = sqrt(d * d - y * y); // 左右端点 seg[i].l = x - len, seg[i].r = x + len; } }
if (failed) { puts("-1"); } else { sort(seg, seg + n);
int cnt = 0; double last = -1e20; for (int i = 0; i < n; i ++ ) // last 小于左边界,则增加右边界的点 if (last < seg[i].l) { cnt ++ ; last = seg[i].r; }
printf("%d\n", cnt); }
return 0;}
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公众号【AIShareLab】 2022-07-14 加入

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