贪心算法思想与练习
文章和代码已经归档至【Github 仓库:algorithms-notes】或者公众号【AIShareLab】回复 算法笔记 也可获取。
贪心的核心思想:最优解,短视。
按照数据规模猜测贪心,一般在是排序,或是 O(n)的做法,扫描一边,1000 左右是两重循环,100 左右是三重循环。
股票买卖 II
给定一个长度为 N 的数组,数组中的第 i 个数字表示一个给定股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票)。
注意:你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。
输入格式
第一行包含整数 N,表示数组长度。
第二行包含 N 个不大于 10000 的正整数,表示完整的数组。
输出格式
输出一个整数,表示最大利润。
数据范围
输入样例 1:
输出样例 1:
输入样例 2:
输出样例 2:
输入样例 3:
输出样例 3:
样例解释
样例 1:在第 2 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 3 天(股票价格 = 5)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。随后,在第 4 天(股票价格 = 3)的时候买入,在第 5 天(股票价格 = 6)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。共得利润 4+3 = 7。
样例 2:在第 1 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 5 天 (股票价格 = 5)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票,之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易,你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
样例 3:在这种情况下, 不进行任何交易, 所以最大利润为 0。
贪心思路:
任何跨度大于一天的交易都可以拆分成跨度等于一天的交易(中间部分的买和卖相互抵消了)。所以最优解只需要聚焦在这跨度为 1 的交易上即可,那么基本思路就是如果后一天价格大于前一天,则交易一次。
code
货仓选址
在一条数轴上有 N 家商店,它们的坐标分别为 ∼。
现在需要在数轴上建立一家货仓,每天清晨,从货仓到每家商店都要运送一车商品。
为了提高效率,求把货仓建在何处,可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。
输入格式
第一行输入整数 N。
第二行 N 个整数 ∼。
输出格式
输出一个整数,表示距离之和的最小值。
数据范围
,
输入样例:
输出样例:
思路:
中位数有非常优秀的性质,比如说在这道题目中,每一个点到中位数的距离,都是满足全局的最有性,而不是局部最优性。
具体的来说,我们设在仓库左边的所有点,到仓库的距离之和为 p,右边的距离之和则为 q,那么我们就必须让 p+q 的值尽量小。
当仓库向左移动的话,p 会减少 x,但是 q 会增加 n−x,所以说当为仓库中位数的时候,p+q 最小。
每次只关注局部最优解,即可推出全局最优解。
code
糖果传递
有 n 个小朋友坐成一圈,每人有 a[i] 个糖果。
每人只能给左右两人传递糖果。
每人每次传递一个糖果代价为 1。
求使所有人获得均等糖果的最小代价。
输入格式
第一行输入一个正整数 n,表示小朋友的个数。
接下来 n 行,每行一个整数 a[i],表示第 i 个小朋友初始得到的糖果的颗数。
输出格式
输出一个整数,表示最小代价。
数据范围
,
,
数据保证一定有解。
输入样例:
输出样例:
思路:
题目可以绘图如下:
其中:
那么可以看到:
由上式,可以归纳出:
那么原目标函数可以化简为:
这样就转换成与上一题一样的思想了。
code
雷达设备
假设海岸是一条无限长的直线,陆地位于海岸的一侧,海洋位于另外一侧。
每个小岛都位于海洋一侧的某个点上。
雷达装置均位于海岸线上,且雷达的监测范围为 d,当小岛与某雷达的距离不超过 d 时,该小岛可以被雷达覆盖。
我们使用笛卡尔坐标系,定义海岸线为 x 轴,海的一侧在 x 轴上方,陆地一侧在 x 轴下方。
现在给出每个小岛的具体坐标以及雷达的检测范围,请你求出能够使所有小岛都被雷达覆盖所需的最小雷达数目。
输入格式
第一行输入两个整数 n 和 d,分别代表小岛数目和雷达检测范围。
接下来 n 行,每行输入两个整数,分别代表小岛的 x,y 轴坐标。
同一行数据之间用空格隔开。
输出格式
输出一个整数,代表所需的最小雷达数目,若没有解决方案则所需数目输出 −1。
数据范围
,
输入样例:
输出样例:
思路:
给定若干区间,最少选择多少个点,可以使每个区间上最少选一个点?
贪心策略:
将所有区间按右端点从小到大排序;
依次考虑每个区间:
如果当前区间包含最后一个选择的点,则直接跳过;
如果当前区间不包含最后一个选择的点,则在当前区间的右端点的位置选一个新的点;
证明:
cnt:算法得到的结果
opt:最优解
最优解表示所有方法的最小值,因此 。
再证明 :
所有可行解必然都大于等于 cnt:选了 cnt 个点,则意味着必然存在 cnt 个互不相交的区间。
首先上述做法一定可以保证所有区间都至少包含一个点。
然后我们再证明这样选出的点的数量是最少的,不妨设选出的点数是 m:
按照上述做法,我们选择的点都是某个区间的右端点,而且由于区间按右端点排好序了,所以我们选择的点也是排好序的;
只有在当前区间和上一个点所对应的区间是没有交集时,我们才会选择一个新点,所以所有选出的点所对应的区间是如下图所示的情况,两两之间没有交集。
所以我们找到了 m 个两两之间没有交集的区间,因此我们至少需要选 m 个点。而且通过上述做法,我们可以只选 m 个点。因此最优解就是 m。
时间复杂度
计算每个坐标所对应的区间,需要 O(n)的计算量;
将所有区间排序需要 O(nlogn) 的计算量;
扫描所有区间需要 O(n)的计算量;
所以总共的时间复杂度是 O(nlogn)。
code:
版权声明: 本文为 InfoQ 作者【timerring】的原创文章。
原文链接:【http://xie.infoq.cn/article/5c15a4820d31e7b2ead2e5709】。未经作者许可,禁止转载。
评论