一、前言
SPFA 算法，全称为 Shortest Path Faster Algorithm，是求解单源最短路径问题的一种常用算法，它可以处理有向图或者无向图，边权可以是正数、负数，但是不能有负环。
二、SPFA 算法
1、SPFA 算法的基本流程
1. 初始化
首先我们需要起点 s 到其他顶点的距离初始化为一个很大的值（比如 9999999，像是 JAVA 中可以设置 Integer.MAX_VALUE 来使），并将起点 s 的距离初始化为 0。同时，我们还需要将起点 s 入队。
2. 迭代
每次从队列中取出一个顶点 u，遍历所有从 u 出发的边，对于边（u,v）（其中 v 为从 u 可以到达的顶点），如果 s->u->v 的路径长度小于 s->v 的路径长度，那么我们就更新 s->v 的路径长度，并将 v 入队。
3. 循环
不断进行步骤 2，直到队列为空。
4. 判断
最后，我们可以得到从起点 s 到各个顶点的最短路径长度，如果存在无穷小的距离，则说明从起点 s 无法到达该顶点。
其次，需要注意的是，SPFA 算法中存在负环问题。如果存在负环，则算法会陷入死循环。因此，我们需要添加一个计数器，记录每个点进队列的次数。当一个点进队列的次数超过图中节点个数时，就可以判定存在负环。
2、代码详解
以下是使用 Java 实现 SPFA 算法的代码，其中 Graph 类表示有向图或无向图，Vertex 类表示图中的一个顶点，Edge 类表示图中的一条边。
import java.util.*;
class Graph { // 图 private List<Vertex> vertices; // 顶点集
public Graph() { vertices = new ArrayList<Vertex>(); }
public void addVertex(Vertex v) { // 添加顶点 vertices.add(v); } // 添加顶点
public List<Vertex> getVertices() { // 返回顶点 return vertices; } // 获取顶点集}
class Vertex { // 点 private int id; // 点 id private List<Edge> edges; // 连接到该顶点的边 private int distance; // 从源顶点到该顶点的最短距离，MAX_VALUE init private boolean visited; // 在图的遍历过程中是否访问过该顶点，false init
public Vertex(int id) { this.id = id; edges = new ArrayList<Edge>(); distance = Integer.MAX_VALUE; visited = false; }
public int getId() { // 获取 id return id; }
public void addEdge(Edge e) { // 将连接到该顶点边添加到列表中 edges.add(e); } // 添加图到边
public List<Edge> getEdges() { // 获取连接到该顶点的边集 return edges; } // 获取图中边
public int getDistance() { // 获取从源顶点到该顶点的最短距离 return distance; } // 获取源顶点到该顶点的最短距离
public void setDistance(int distance) { //设置最短距离 this.distance = distance; } // 设置源顶点到该顶点的最短距离
public boolean isVisited() { // 获取在图的遍历过程中是否访问过该点 return visited; } // 获取图遍历过程中是否访问过该点
public void setVisited(boolean visited) { // 设置在图的遍历过程中是否访问过该点 this.visited = visited; } // 设置图遍历过程中是否访问过该点}
class Edge { // 边 private Vertex source; // 源顶点 private Vertex destination; // 目标顶点 private int weight; // 边的权重
public Edge(Vertex source, Vertex destination, int weight) { this.source = source; this.destination = destination; this.weight = weight; }
public Vertex getSource() { // 返回源顶点 return source; } // 获取源点
public Vertex getDestination() { // 返回目标顶点 return destination; } // 获取目标顶点
public int getWeight() { // 获取边的权重 return weight; } // 获取边的权重}
// SPFA 算法public class SPFA { public static void spfa(Graph graph, Vertex source) { // 初始化 Queue<Vertex> queue = new LinkedList<Vertex>(); // 初始化一个顶点队列，使用该队列来跟中需要处理的顶点 for (Vertex v : graph.getVertices()) { // 初始化最短距离和是否访问过该点 v.setDistance(Integer.MAX_VALUE); v.setVisited(false); }
source.setDistance(0); // 将源顶点到自身的最短距离设为0 queue.add(source); // 将源顶点添加到队列中
// 迭代 int count = 0; // 用于检测图中的负环，count超过图中顶点的总数，抛出异常
// 查找从一个源顶点到图中所有其它顶点的最短路径 while (!queue.isEmpty()) { Vertex u = queue.poll(); // 存储SPFA算法正在处理的顶点，poll 方法将下一个顶点从队列中取出 u.setVisited(false); // 标记该顶点为未访问，以便在算法中再次对其处理 // 查找部分，循环遍历当前顶点 u 的所有边 for (Edge e : u.getEdges()) { Vertex v = e.getDestination(); // 返回边 e 的目标顶点给 v int distance = u.getDistance() + e.getWeight(); // 计算源顶点到目标顶点的距离 if (distance < v.getDistance()) { v.setDistance(distance); // 更新最短距离 if (!v.isVisited()) { // 如果该顶点未被访问过 queue.add(v); // 将该顶点添加到队列中 v.setVisited(true); // 标记该顶点已被访问 count++; // 负环 + 1 if (count > graph.getVertices().size()) { // 检查 SPFA 算法处理的顶点数是否大于图中顶点总数 throw new RuntimeException("Negative cycle detected"); } } } } } }
public static void main(String[] args) { // 构造图 Graph graph = new Graph(); // 构造顶点 Vertex s = new Vertex(0); Vertex a = new Vertex(1); Vertex b = new Vertex(2); Vertex c = new Vertex(3); Vertex d = new Vertex(4); // 点加边 s.addEdge(new Edge(s, a, 2)); s.addEdge(new Edge(s, c, 1)); a.addEdge(new Edge(a, b, 3)); b.addEdge(new Edge(b, d, 2)); c.addEdge(new Edge(c, d, 1)); // 边加点 graph.addVertex(s); graph.addVertex(a); graph.addVertex(b); graph.addVertex(c); graph.addVertex(d);
// 调用SPFA算法求解最短路径 spfa(graph, s);
// 输出结果 for (Vertex v :graph.getVertices()) { System.out.println("Shortest distance from source to vertex " + v.getId() + " is " + v.getDistance()); } } }
复制代码
上面的代码实现了 SPFA 算法，并计算了从给定源点到图中其他所有顶点的最短路径。主要思路如下：
初始化：将所有顶点的距离设置为正无穷，将源点的距离设置为 0，将源点加入队列。
迭代：从队列中取出一个顶点 u，遍历它的所有邻居 v。如果 u 到源点的距离加上 u 到 v 的边的权重小于 v 的距离，则更新 v 的距离，并将 v 加入队列中。如果 v 已经在队列中，则不需要再次添加。
如果队列为空，则算法结束。如果队列非空，则回到步骤 2。
SPFA 算法的时间复杂度取决于负权边的数量。如果图中没有负权边，算法的时间复杂度是 O(E)，其中 E 是边的数量。但是如果图中有负权边，算法的时间复杂度将达到 O(VE)，其中 V 是顶点的数量，E 是边的数量。因此，为了避免算法的时间复杂度变得非常高，应尽可能避免在图中使用负权边。
三、SPFA 算法已死 ？
这个问题引发了很多 OI 选手和出题人的讨论，虽然 SPFA 算法在实际应用中具有一定的优势，但它也有一些缺点，导致它被称为"已死"的算法之一。以下是几个原因：
可能会进入负环：SPFA 算法可以处理负权边，但是如果有负权环，算法将无法结束，因为每次都会沿着负权环一遍一遍地更新距离，导致算法陷入死循环。
时间复杂度不稳定：在最坏情况下，SPFA 算法的时间复杂度可以达到 O(VE)，其中 V 和 E 分别是图中的顶点数和边数。而在最好情况下，时间复杂度只有 O(E)。因此，SPFA 算法的时间复杂度是不稳定的。
存在更好的算法：对于单源最短路径问题，已经有更好的算法出现，如 Dijkstra 算法和 Bellman-Ford 算法。这些算法在时间复杂度和稳定性方面都比 SPFA 算法更优秀。
虽然 SPFA 算法在某些情况下可以发挥出优势，但是它的缺点也是无法忽视的，而且已经有更好的算法出现，不少大佬也或多或少的对 SPFA 算法进行了优化，更多优化的内容以及最短路径算法可以在论文中找到。因此，SPFA 算法已经不是首选算法，也可以说是已经“死亡”了。
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