算法基础（四）| 前缀和算法及模板详解

2022 年 9 月 24 日
山东
本文字数：1478 字
阅读完需：约 5 分钟

⭐写在前面的话：本系列文章旨在复习算法刷题中常用的基础算法与数据结构，配以详细的图例解释，总结相应的代码模板，同时结合例题以达到最佳的学习效果。本专栏面向算法零基础但有一定的 C++基础的学习者。若 C++基础不牢固，可参考：10min快速回顾C++语法，进行语法复习。
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前缀和

一维前缀和

原数组 a[i]: a[1], a[2], a[3] ... a[n];

前缀和：S[i] = a[1] + a[2] + a[3] ...+a[n]

模板 1：如何求 $S_{i} [n]$ ?

模板 2：求[l, r]

下标从 1 开始，为了定义为 $S_{0} = 0$ ,这么定义的好处是可以将 $[l, r] = S_{r} - S_{l - 1}$ ，这个公式应用在所有场景下，包括 $[1, x] = S [x] - S [0]$ 。

例题：前缀和

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n,1≤n,m≤100000−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 32 1 3 6 41 21 32 4

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输出样例：

复制代码

代码模板

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N],s[N];
int main(){    ios::sync_with_stdio(false);    int m , n;        scanf("%d%d", &n ,&m);    for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d",&a[i]);        for(int i = 1; i <= n; i++)s[i] = s[i - 1] + a[i];        while( m-- )    {        int l ,r;        scanf("%d%d", &l, &r);        printf("%d\n", s[r] - s[l-1]);    }    return 0;}

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二维前缀和

S[i][j] : 两个方向的前缀和，左上角这一部分所有元素的和。

a[i][j] : 元素。

首先，写出计算前缀和的公式：

s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j]

复制代码

计算部分前缀和的公式如下所示：

s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]

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注意，这里把每个格子看成元素就好。

例题：子矩阵的和

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤10001≤q≤2000001≤x1≤x2≤n1≤y1≤y2≤m−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 31 7 2 43 6 2 82 1 2 31 1 2 22 1 3 41 3 3 4

复制代码

输出样例：

复制代码

代码模板

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m, q;int a[N][N],s[N][N];
int main(){    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )        for (int j = 1; j <= m; j ++ )            scanf("%d", &a[i][j]);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )        for (int j = 1; j <= m; j ++ )        //求前缀和            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
    while (q -- )    {        int x1, y1, x2, y2;        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);        //算部分前缀和        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);    }
    return 0;}

复制代码

发布于: 2022 年 09 月 24 日阅读数: 5

原文链接:【http://xie.infoq.cn/article/2490cee81f21d6354219b8c87】。未经作者许可，禁止转载。

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