二、如果用 go 语言，在 RANDOMIZED-QUICKSORT 的运行过程中，在最坏情况下，随机数生成器 RANDOM 被调用了多少次?在最好情况下呢?以θ符号的形式给出你的答案?

文心一言：

在 RANDOMIZED-QUICKSORT 的运行过程中，最坏情况下，随机数生成器 RANDOM 的调用次数为 O(n)。这是因为在最坏情况下，每次分区操作都会将数组分成大小相等的两部分，因此每次都需要从剩下的 n-1 个元素中随机选择一个元素作为主元。这样，每次分区操作都需要调用 RANDOM 函数，总共需要进行 n 次分区操作，因此 RANDOM 的调用次数为 O(n)。

在最好情况下，RANDOM 的调用次数为 O(log n)。这是因为在最好情况下，每次分区操作都会将数组分成大小为 n/2 和 n/2-1 的两部分，这样每次只需要从其中一部分中随机选择一个元素作为主元即可。这样，每次分区操作只需要调用 RANDOM 函数一次，总共需要进行 log(n) 次分区操作，因此 RANDOM 的调用次数为 O(log n)。

讯飞星火：

在最坏情况下，随机数生成器 RANDOM 被调用了 (n-1)*log2(n) + O(n) 次。在最好情况下，它被调用了 O(n) 次。

以下是用 Go 语言实现的代码：

package main
import (  "fmt"  "math")
func partition(arr []int, low, high int) int {  pivot := arr[high]  i := low - 1  for j := low; j < high; j++ {    if arr[j] <= pivot {      i++      arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]    }  }  arr[i+1], arr[high] = arr[high], arr[i+1]  return i + 1}
func quickSort(arr []int, low, high int) {  if low < high {    pi := partition(arr, low, high)    quickSort(arr, low, pi-1)    quickSort(arr, pi+1, high)  }}
func randomizedQuickSort(arr []int, n int) {  randomizedPartition(arr, 0, n-1)  quickSort(arr, 0, n-1)}
func randomizedPartition(arr []int, low, high int) {  rand.Seed(time.Now().UnixNano())  pivotIndex := rand.Intn(high-low+1) + low  arr[pivotIndex], arr[high] = arr[high], arr[pivotIndex]  pivotIndex = partition(arr, low, high)  arr[pivotIndex], arr[high] = arr[high], arr[pivotIndex]}
func main() {  arr := []int{3, 8, 2, 5, 1, 4, 7, 6}  n := len(arr)  randomizedQuickSort(arr, n)  fmt.Println("Sorted array:", arr)}

这段代码实现了随机化快速排序算法，其中 randomizedPartition 函数用于随机选择枢轴元素，并调整数组以使其有序。在最坏情况下，随机数生成器 RANDOM 被调用了 (n-1)*log2(n) + O(n) 次，而在最好情况下，它被调用了 O(n) 次。

360 智脑：

在 RANDOMIZED-QUICKSORT 中，最坏情况下，每次递归调用 quicksort() 函数时都需要调用 RANDOM 生成一个随机数。因此，在最坏情况下，random() 被调用了 n! 次，其中 n 是待排序数组的大小。

以θ符号表示，最坏情况下，random() 被调用的次数为:θ(n!)。

在最好情况下，每次递归调用 quicksort() 函数时会使用数组中的一个元素作为随机数，此时 random() 被调用的次数为 n 次。

以θ符号表示，最好情况下，random() 被调用的次数为:θ(n^2)。

chatglm：

在最坏情况下，随机数生成器 RANDOM 可能会被调用 n 次，其中 n 是待排序数组的长度。这是因为在随机选择基准值时，有可能每次选择的基准值都不同，因此需要多次调用 RANDOM 函数来生成随机数。

在最好情况下，随机数生成器 RANDOM 可能会被调用 1 次或者 2 次。这是因为在随机选择基准值时，有可能第一次选择的基准值就是排序数组中的最小值或最大值，这样就不需要再次调用 RANDOM 函数了。如果第一次选择的基准值不是最小值或最大值，那么需要再次调用 RANDOM 函数来生成一个新的随机数。

因此，最坏情况下，随机数生成器 RANDOM 可能会被调用 n 次，最好情况下可能被调用 1 或 2 次。答案可以表示为：

• 最坏情况：O(n)

• 最好情况：O(1) 或 O(2)

通义千问：

在最坏情况下，随机数生成器 RANDOM 被调用了 nlogn 次，其中 n 为待排序数组的大小。在最好情况下，随机数生成器 RANDOM 被调用了 O(1)次。

这是因为在最坏情况下，每次递归调用 QUICKSORT 都会将数组分成两份，其中一份的大小为 n/2，另一份的大小为 1。由于我们将较小的一份作为基准值，所以我们需要对较大的一份进行递归调用。这个过程会一直持续到每个子数组的大小为 1，此时我们就可以直接将它们按照随机数排序。因此，总共需要进行 nlogn 次递归调用。

在最好情况下，每次递归调用 QUICKSORT 都会将数组分成两份，其中一份的大小为 1，另一份的大小为 n-1。由于我们将较大的一份作为基准值，所以我们只需要对较小的一份进行递归调用。由于每个子数组的大小为 1，所以我们只需要对它们进行一次排序，即可得到有序数组。因此，总共需要进行 O(1)次递归调用。

天工：

在最坏情况下，随机数生成器 RANDOM 会被调用 $O(\log n)$ 次，其中 $n$ 是要排序的元素数量。

在最好情况下，随机数生成器 RANDOM 会被调用 $O(1)$ 次。

因此，随机数生成器 RANDOM 在最坏情况下的平均运行时间复杂度为 $O(\log n)$，在最好情况下的平均运行时间复杂度为 $O(1)$。

chatgpt：

在随机化快速排序（RANDOMIZED-QUICKSORT）中，随机数生成器 RANDOM 在每次选择划分元素时被调用。

在最坏情况下，随机数生成器 RANDOM 被调用的次数等于递归调用的次数。当划分中选择的划分元素总是使得数组分割得非常不均衡时，最坏情况发生。

对于长度为 n 的数组，在最坏情况下，递归调用 RANDOM 的次数可以表示为递归树的高度 h，它是数组长度的对数级别。

因此，在最坏情况下，RANDOM 被调用的次数为 Θ(log n)。

在最好情况下，随机数生成器 RANDOM 仅被调用一次。当每次都能选择一个恰好平衡分割的划分元素时，最好情况发生。

因此，在最好情况下，RANDOM 被调用的次数为 Θ(1)。

综上所述：

在最坏情况下，随机数生成器 RANDOM 被调用 Θ(log n) 次。

在最好情况下，随机数生成器 RANDOM 被调用 Θ(1) 次。

总结