KDD 2023 | 蚂蚁“优化器三部曲”之 WSAM

蚂蚁 AI Infra 团队在深度学习最核心之一的优化器方向持续投入与创新，实现了 AI 训练节约资源、加速收敛、提升泛化等目标。我们将推出“优化器三部曲”系列，这是本系列的第一篇。

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深度神经网络 （DNNs） 的泛化能力与极值点的平坦程度密切相关，因此出现了 Sharpness-Aware Minimization （SAM） 算法来寻找更平坦的极值点以提高泛化能力。本文重新审视 SAM 的损失函数，提出了一种更通用、有效的方法——WSAM ，将平坦程度作为正则化项来改善训练极值点的平坦度。在各个公开数据集上的实验表明，与原始优化器、SAM 及其变体相比，WSAM 在绝大多数情形都实现了更好的泛化性能。WSAM 也在蚂蚁内部数字支付、数字金融等多个场景被普遍采用并取得了显著效果。该文被 KDD'23 接收为 Oral Paper。

ArXiv 论文《Sharpness-Aware Minimization Revisited: Weighted Sharpness as a Regularization Term》：https://arxiv.org/abs/2305.15817

代码已集成到蚂蚁开源项目 DLRover：https://github.com/intelligent-machine-learning/dlrover/tree/master/atorch/atorch/optimizers

随着深度学习技术的发展，高度过参数化的 DNNs 在 CV 和 NLP 等各种机器学习场景下取得了巨大的成功。虽然过度参数化的模型容易过拟合训练数据，但它们通常具有良好的泛化能力。泛化的奥秘受到越来越多的关注，已成为深度学习领域的热门研究课题。

最近的研究表明，泛化能力与极值点的平坦程度密切相关，即损失函数“地貌”中平坦的极值点可以实现更小的泛化误差。Sharpness-Aware Minimization （SAM） [1]是一种用于寻找更平坦极值点的技术，是当前最有前途的技术方向之一。它广泛应用于各个领域，如 CV、NLP 和 bi-level learning，并在这些领域明显优于原先最先进的方法。

为了探索更平坦的最小值，SAM 定义损失函数 $L$ 在 $w$ 处的平坦程度如下：

GSAM [2] 证明了 $\tilde{L}(w)$ 是局部极值点 Hessian 矩阵最大特征值的近似，表明 $\tilde{L}(w)$ 确实是平坦（陡峭）程度的有效度量。然而，$\tilde{L}(w)$ 只能用于寻找更平坦的区域而不是最小值点，这可能导致损失函数收敛到损失值依然很大的点（虽然周围区域很平坦）。因此，SAM 采用 $\tilde{L}(w)+L(w)$，即 $L^{SAM}(w)$ 作为损失函数。它可以视为在 $\tilde{L}(w)$ 和 $L(w)$ 之间寻找更平坦的表面和更小损失值的折衷方案，在这里两者被赋予了同等的权重。

本文重新思考了 $L^{SAM}(w)$ 的构建，将 $\tilde{L}(w)$ 视为正则化项。我们开发了一个更通用、有效的算法，称为 WSAM（Weighted Sharpness-Aware Minimization），其损失函数加入了一个加权平坦度项 $\frac{\gamma }{1-\gamma }\tilde{L}(w)$ 作为正则项，其中超参数 $\gamma$ 控制了平坦度的权重。在方法介绍章节，我们演示了如何通过 $\gamma$ 来指导损失函数找到更平坦或更小的极值点。我们的关键贡献可以总结如下。

• 我们提出 WSAM，将平坦度视为正则化项，并在不同任务之间给予不同的权重。我们提出一个“权重解耦”技术来处理更新公式中的正则化项，旨在精确反映当前步骤的平坦度。当基础优化器不是 SGD 时，如 SGDM 和 Adam，WSAM 在形式上与 SAM 有显著差异。消融实验表明，这种技术在大多数情况下可以提升效果。

• 我们在公开数据集上验证了 WSAM 在常见任务中的有效性。实验结果表明，与 SAM 及其变体相比，WSAM 在绝大多数情形都有着更好的泛化性能。

预备知识

SAM 是解决由公式（1）定义的 $L^{SAM}(w)$ 的极小极大最优化问题的一种技术。

首先，SAM 使用围绕 $w$ 的一阶泰勒展开来近似内层的最大化问题，即

其次，SAM 通过采用 $L^{SAM}(w)$ 的近似梯度来更新 $w$，即

其中第二个近似是为了加速计算。其他基于梯度的优化器（称为基础优化器）可以纳入 SAM 的通用框架中，具体见 Algorithm 1。通过改变 Algorithm 1 中的 $m_t$ 和 $B_t$，我们可以获得不同的基础优化器，例如 SGD、SGDM 和 Adam，参见 Tab. 1。请注意，当基础优化器为 SGD 时，Algorithm 1 回退到 SAM 论文 [1] 中的原始 SAM。

方法介绍

WSAM 的设计细节

在此，我们给出 $L^{WSAM}$ 的正式定义，它由一个常规损失和一个平坦度项组成。由公式（1），我们有

其中 $\gamma \in [0,1)$。当 $\gamma =0$ 时，$L^{WSAM}(w)$ 退化为常规损失；当 $\gamma =1/2$ 时，$L^{WSAM}(w)$ 等价于 $L^{SAM}(w)$；当 $\gamma >1/2$ 时，$L^{WSAM}(w)$ 更注重平坦度，因此与 SAM 相比更容易找到具有较小曲率而非较小损失值的点；反之亦然。

包含不同基础优化器的 WSAM 的通用框架可以通过选择不同的 ${\varphi }_t$ 和 ${\psi }_t$ 来实现，见 Algorithm 2。例如，当 ${\varphi }_t=g_t$ 和 ${\psi }_t=\mathbb{I}$ 时，我们得到基础优化器为 SGD 的 WSAM，见 Algorithm 3。在此，我们采用了一种“权重解耦”技术，即平坦度项 $\tilde{L}(w)$ 不是与基础优化器集成用于计算梯度和更新权重，而是独立计算（Algorithm 2 第 7 行的最后一项）。这样，正则化的效果只反映了当前步骤的平坦度，而没有额外的信息。为了进行比较，Algorithm 4 给出了没有“权重解耦”（称为 Coupled-WSAM）的 WSAM。例如，如果基础优化器是 SGDM，则 Coupled-WSAM 的正则化项是平坦度的指数移动平均值。如实验章节所示，“权重解耦”可以在大多数情况下改善泛化表现。

Fig. 1 展示了不同 $\gamma$ 取值下的 WSAM 更新过程。当 $\gamma <\frac{1}{2}$ 时，$\nabla L^{WSAM}(w)$ 介于 $\nabla L(w)$ 和 $\nabla L^{SAM}(w)$ 之间，并随着 $\gamma$ 增大逐渐偏离 $\nabla L(w)$。

简单示例

为了更好地说明 WSAM 中 $\gamma$ 的效果和优势，我们设置了一个二维简单示例。如 Fig. 2 所示，损失函数在左下角有一个相对不平坦的极值点（位置：(-16.8, 12.8)，损失值：0.28），在右上角有一个平坦的极值点（位置：(19.8, 29.9)，损失值：0.36）。损失函数定义为：

这里 $K_i(w)=K_i(\mu ,\sigma )$ 是单变量高斯模型与两个正态分布之间的 KL 散度，即

其中 $({\mu }_1,{\sigma }_1)=(20,30)$ 和 $({\mu }_2,{\sigma }_2)=(-20,10)$。

我们使用动量为 0.9 的 SGDM 作为基础优化器，并对 SAM 和 WSAM 设置 $\rho =2$。从初始点 (-6, 10) 开始，使用学习率为 5 在 150 步内优化损失函数。SAM 收敛到损失值更低但更不平坦的极值点，$\gamma =0.6$ 的 WSAM 也类似。然而，$\gamma =0.95$ 使得损失函数收敛到平坦的极值点，说明更强的平坦度正则化发挥了作用。

实验

我们在各种任务上进行了实验，以验证 WSAM 的有效性。

图像分类

我们首先研究了 WSAM 在 Cifar10 和 Cifar100 数据集上从零开始训练模型的效果。我们选择的模型包括 ResNet18 和 WideResNet-28-10。我们使用预定义的批大小在 Cifar10 和 Cifar100 上训练模型，ResNet18 和 WideResNet-28-10 分别为 128、256。这里使用的基础优化器是动量为 0.9 的 SGDM。按照 SAM[1] 的设置，每个基础优化器跑的 epoch 数是 SAM 类优化器的两倍。我们对两种模型都进行了 400 个 epoch 的训练 （SAM 类优化器为 200 个 epoch） ，并使用 cosine scheduler 来衰减学习率。这里我们没有使用其他高级数据增强方法，例如 cutout 和 AutoAugment。

对于两种模型，我们使用联合网格搜索确定基础优化器的学习率和权重衰减系数，并将它们保持不变用于接下来的 SAM 类优化器实验。学习率和权重衰减系数的搜索范围分别为 {0.05, 0.1} 和 {1e-4, 5e-4, 1e-3}。由于所有 SAM 类优化器都有一个超参数 ρ （邻域大小） ，我们接下来在 SAM 优化器上搜索最佳的 ρ，并将相同的值用于其他 SAM 类优化器。ρ 的搜索范围为 {0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2, 0.5}。最后，我们对其他 SAM 类优化器各自独有的超参进行搜索，搜索范围来自各自原始文章的推荐范围。对于 GSAM[2]，我们在 {0.01, 0.02, 0.03, 0.1, 0.2, 0.3} 范围内搜索 α。对于 ESAM[3]，我们在 {0.4, 0.5, 0.6} 范围内搜索 η，在 {0.4, 0.5, 0.6} 范围内搜索 γ。对于 WSAM，我们在 {0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.82, 0.84, 0.86, 0.88, 0.9, 0.92, 0.94, 0.96} 范围内搜索 γ。我们使用不同的随机种子重复实验 5 次，计算了平均误差和标准差。我们在单卡 NVIDIA A100 GPU 上进行实验。每个模型的优化器超参总结在 Tab.3 中。

Tab.2 给出了在不同优化器下，ResNet18、WRN-28-10 在 Cifar10 和 Cifar100 上测试集的 top-1 错误率。相比基础优化器，SAM 类优化器显著提升了效果，同时，WSAM 又显著优于其他 SAM 类优化器。

ImageNet 上的额外训练

我们进一步在 ImageNet 数据集上使用 Data-Efficient Image Transformers 网络结构进行实验。我们恢复了一个预训练的 DeiT-base checkpoint，然后继续训练三个 epoch。模型使用批大小 256 进行训练，基础优化器为动量 0.9 的 SGDM，权重衰减系数为 1e-4，学习率为 1e-5。我们在四卡 NVIDIA A100 GPU 重复跑 5 次并计算平均误差和标准差。

我们在 {0.05, 0.1, 0.5, 1.0, …, 6.0} 中搜索 SAM 的最佳 ρ。最佳的 ρ=5.5 被直接用于其他 SAM 类优化器。之后，我们在 {0.01, 0.02, 0.03, 0.1, 0.2, 0.3} 中搜索 GSAM 的最佳 α，并在 0.80 到 0.98 之间以 0.02 的步长搜索 WSAM 的最佳 γ。

模型的初始 top-1 错误率为 18.2%，在进行了三个额外的 epoch 之后，错误率如 Tab.4 所示。我们没有发现三个 SAM-like 优化器之间有明显的差异，但它们都优于基础优化器，表明它们可以找到更平坦的极值点并具有更好的泛化能力。

标签噪声的鲁棒性

如先前的研究 [1，4，5] 所示，SAM 类优化器在训练集存在标签噪声时表现出良好的鲁棒性。在这里，我们将 WSAM 的鲁棒性与 SAM、ESAM 和 GSAM 进行了比较。我们在 Cifar10 数据集上训练 ResNet18 200 个 epoch，并注入对称标签噪声，噪声水平为 20%、40%、60% 和 80%。我们使用具有 0.9 动量的 SGDM 作为基础优化器，批大小为 128，学习率为 0.05，权重衰减系数为 1e-3，并使用 cosine scheduler 衰减学习率。针对每个标签噪声水平，我们在 {0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2, 0.5} 范围内对 SAM 进行网格搜索，确定通用的 ρ 值。然后，我们单独搜索其他优化器特定的超参数，以找到最优泛化性能。我们在 Tab.5 中列出了复现我们结果所需的超参数。我们在 Tab.6 中给出了鲁棒性测试的结果，WSAM 通常比 SAM、ESAM 和 GSAM 都具有更好的鲁棒性。

探索几何结构的影响

SAM 类优化器可以与 ASAM[4] 和 Fisher SAM[5] 等技术相结合，以自适应地调整探索邻域的形状。我们在 Cifar10 上对 WRN-28-10 进行实验，比较 SAM 和 WSAM 在分别使用自适应和 Fisher 信息方法时的表现，以了解探索区域的几何结构如何影响 SAM 类优化器的泛化性能。

除了 ρ 和 γ 之外的参数，我们复用了图像分类 （见上文） 中的配置。根据先前的研究 [4，5]，ASAM 和 Fisher SAM 的 ρ 通常较大。我们在 {0.05, 0.1, 0.5, 1.0, …, 6.0} 中搜索最佳的 ρ，ASAM 和 Fisher SAM 最佳的 ρ 均为 5.0。之后，我们在 0.80 到 0.94 之间以 0.02 的步长搜索 WSAM 的最佳 γ，两种方法最佳 γ 均为 0.88。

令人惊讶的是，如 Tab.7 所示，即使在多个候选项中，基准的 WSAM 也表现出更好的泛化性。因此，我们建议直接使用具有固定 ρ 的基准 WSAM 即可。

消融实验

在本节中，我们进行消融实验，以深入理解 WSAM 中“权重解耦”技术的重要性。如上文 WSAM 的设计细节所述，我们将不带“权重解耦”的 WSAM 变体 （算法 4） Coupled-WSAM 与原始方法进行比较。

结果如 Tab.8 所示。Coupled-WSAM 在大多数情况下比 SAM 产生更好的结果，WSAM 在大多数情况下进一步提升了效果，证明“权重解耦”技术的有效性。

极值点分析

在这里，我们通过比较 WSAM 和 SAM 优化器找到的极值点之间的差异，进一步加深对 WSAM 优化器的理解。极值点处的平坦 （陡峭） 度可通过 Hessian 矩阵的最大特征值来描述。特征值越大，越不平坦。我们使用 Power Iteration 算法来计算这个最大特征值。

Tab.9 显示了 SAM 和 WSAM 优化器找到的极值点之间的差异。我们发现，Vanilla 优化器找到的极值点具有更小的损失值但更不平坦，而 SAM 找到的极值点具有更大的损失值但更平坦，从而改善了泛化性能。有趣的是，WSAM 找到的极值点不仅损失值比 SAM 小得多，而且平坦度十分接近 SAM。这表明，在寻找极值点的过程中，WSAM 优先确保更小的损失值，同时尽量搜寻到更平坦的区域。

超参敏感性

与 SAM 相比，WSAM 具有一个额外的超参数 γ，用于缩放平坦（陡峭）度项的大小。在这里，我们测试 WSAM 的泛化性能对该超参的敏感性。我们在 Cifar10 和 Cifar100 上使用 WSAM 对 ResNet18 和 WRN-28-10 模型进行了训练，使用了广泛的 γ 取值。如 Fig.3 所示，结果表明 WSAM 对超参 γ 的选择不敏感。我们还发现，WSAM 的最优泛化性能几乎总是在 0.8 到 0.95 之间。

视频介绍

[2 分钟版本]：https://www.bilibili.com/video/BV1Cw411Y7Qh/?vd_source=603516da01339dc75fb908e1cce180c7

[13 分钟版本]：https://www.bilibili.com/video/BV1E84y1U7N7/?vd_source=603516da01339dc75fb908e1cce180c7

参考文献

[1] Pierre Foret et al. Sharpness-aware Minimization for Efficiently Improving Generalization. ICLR '21.

[2] Juntang Zhuang et al. Surrogate Gap Minimization Improves Sharpness-Aware Training. ICLR '22.

[3] Jiawei Du et al. Efficient Sharpness-aware Minimization for Improved Training of Neural Networks. ICLR '22.

[4] Jungmin Kwon et al. ASAM: Adaptive Sharpness-Aware Minimization for Scale-Invariant Learning of Deep Neural Networks. ICML '21.

[5] Minyoung Kim et al. Fisher SAM: Information Geometry and Sharpness Aware Minimisation. ICML '22.

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