有了这张微积分知识地图，你可能会爱上高数！

微积分难吗？

这个问题不用我来添油加醋，有人通过爬虫抓取微博相关话题以及评论，制作得到了一份“大学生挂科排行榜”，可以看到“高等数学”遥遥领先。这里的“高等数学”指的就是微积分。看来微积分还是挺难的。

那么有没有学习的诀窍呢？

我在这个领域已经深耕多年，发现其实只要弄清楚了微积分的主线，学习起来并不难。

大家好，我是马同学的主创李翔宇，同学们叫我小李就好了。今天由我来分享下我们刚刚出版的第二本书《马同学图解微积分(上)》。

祝同学们一马当先

别急着滑走！

放心，不白推销，今天我要拿出看家本领，讲解一下我们这本书是如何通过微积分的主线来整合微积分的各个知识点的，同时也可以帮助你建立微积分的知识地图。相信不管是学过的，还是初学的同学都会有所广益。

微积分知识地图

如果只能用一句话来概括这张微积分知识地图，那就是“曲线的线性近似”。

举个例子，如下图中的蓝色曲线可以用红色直线来近似，这就是所谓的“曲线的线性近似”。这么做的原因是相比曲线而言，直线更容易处理。

以直代曲也是微积分的基本思想

听起来很简单？那为什么这门课程学习起来有一定的难度？为什么课程的内容会这么多，需要用厚厚的一本书才能勉强交代清楚？

这是因为“曲线的线性近似”中有非常多的细节需要处理，在接下来让我们把这些细节补上去。

01. 极限

首先需要说清楚什么是“曲线的线性近似”，以上述的曲线和直线的近似为例，会发现这条曲线和这条直线还是有很大差异的。其实这里的近似指的是在某点附近该曲线可以用该直线来近似。

为了说清楚“在某点附近该曲线可以用该直线来近似”，本书就用了一个单元来介绍极限 ，并通过介绍邻域 、去心邻域 、无穷小 、高阶无穷小等概念来完成这个描述。

02. 微分和导数

第二个问题是，如何找到“曲线的线性近似”，毕竟这条直线也可以近似曲线。

那条直线也可以近似曲线。

到底选择哪一条？这就是书中“微分与导数”单元需要解决的问题。

上面提到的曲线还只是可以用函数来描述的曲线，那么用方程描述的曲线，比如用方程描述的椭圆的近似直线应该怎么求出？这就需要用到“微分与导数”单元中介绍的隐函数 。

或者参数方程描述的曲线，要找到近似某个点附近曲线的直线，就还需要用到隐函数和参数方程求导。

点的微分与端点连线平行

总而言之微分与导数这个单元的核心,就是找到各种代数形式的“曲线的线性近似”。

03. 定积分

找到“曲线的线性近似”之后就可以来解决一些关于曲线的问题了。比如，在现实中要测量一根弯弯曲曲的绳子的长度，都是先捋直了再测量。

捋直弯曲的绳子

在数学中，要计算一段曲线的长度，捋直是不可能的。不过可以考虑将该曲线分成多段。

将曲线分成多段

然后每一段曲线都可以用一根线段来近似。

每一段曲线都可以用一根线段来近似

很显然该曲线分成的段数越多，近似效果越好。

曲线分的段数越多，线段的近似效果越好

最终将这些小线段的长度加起来，就得到了曲线的长度。这种相加就是本书中“ 定积分 ”单元需要解决的问题。

这种相加的其实挺复杂，也称为积分技术，除了在书中“定积分”单元中后面四节有介绍之外，还有一部分是在“不定积分”单元中介绍的。

定积分的应用

“曲线的线性近似”除了求曲线的长度还有非常多的应用，比如上面已经求出曲线长度了，那么将曲线旋转起来就可以计算出旋转曲面的表面积，这个求解的基础还是“曲线的线性近似”。

左侧曲线绕轴旋转一周得到旋转面

再比如通过很多矩形来近似曲边梯形的面积，这其实也是一种线性近似，再累加起来，最终得到曲线下的面积。

在物理中还有很多应用，比如图由于弹簧推动某蓝色矩形块，使其发生位移，这种受到变力情况下的做功可以根据定积分求出。

弹簧推动蓝色矩形块，使其发生位移

还有找到如下图这种平衡玩具的质心等。

可以保持平衡的玩具小人

上面都是“曲线的线性近似”的应用，更多细节都写在本书的“定积分的应用”单元里。

微分方程

前面几个单元的内容，都是知道了曲线，然后求出近似曲线的直线。

每一段曲线都可以用一根线段来近似

这一过程是可以反过来的，就是已知用于近似曲线的直线，然后去求解该曲线。这也称为“曲线的线性近似”的逆问题。

我们在最后一个单元“微分方程”就是介绍这种逆问题的：

逆问题的求解难度往往更大，微分方程求解就是更难的问题，本身完全可以单独成为一门学科。不过按大学课纲的要求，“微分方程”这个单元只是粗略地介绍一下，并没有更深入的探索。

01. 泰勒公式、曲率

如果用的不是直线，而是圆，那么近似的区域就大了一些，这就是曲率圆。这样的近似可以去衡量曲线各点的弯曲程度。

用圆来近似函数在点附近的曲线

而如果不用圆，用多项式曲线近似的话，近似的区域会更大，这就是大名鼎鼎的泰勒公式。

总之在“微分中值定理”这个单元里,我们介绍了更多近似曲线的方法。

至此，这张知识地图就完整了，不过我们还要调整一下顺序。这样做的原因是，一方面是和同济版的目录保持一致，更重要的是一些定理、定义有前后关系，调整后才方便介绍和引入。

最终的知识地图就是这本《马同学图解微积分(上)》的写作提纲，以此为骨架，历时数年终于羽翼丰满，出版成书！

少侠我看你骨骼惊奇，天赋异禀，定是自学微积分的好苗子，买一本秘籍吧！包你一学就会，从此数学之路所向披靡～

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