前言
回溯，就是无脑冲，碰壁之后就回撤一步继续搞，属于一种暴力解题的思路；
实际上也是如此，当我们在遇到一些分类讨论的问题，无法想到比较精妙的解决方案，我们第一时间考虑到的就是暴力枚举所有情况，然后再做处理，而 回溯 就是这样的一个暴力法
下一个 tab 学习一下常规的排序算法吧
正文
在做回溯题 的过程中，会发现很迷茫，因为很多题好像不需要返回，在执行下一步的过程中，我就做好判定，然后将可能的失败遏制住了，这个时候，一般能继续往下走的，都属于还行的操作，我们其实可以把这种方式叫做 剪枝
我一度陷入深思，是不是回溯就没用了呢，是不是只要脑瓜还行，其实剪枝就好了，还回溯啥，直到想起回溯的核心思想，它其实是一种暴力解法， 也就是如果你能用其他方法，其实不用回溯,是比较好的思路，一般情况下，回溯的复杂度会比较高
那么到底什么时候用回溯呢？那种你没法子预设结局，或者说你的选择不单单关联相邻层的选择，而是会对更深层都有影响，比方说 51. N 皇后
我们需要求的是完整的棋盘，每一层的选择，都会影响整个棋盘的的布局，这个时候想在下棋那一刻就将全部可能情况想出来，太难了，这时候用回溯 就是很好的选择
而对于一些只与上层有影响，这个时候剪枝 也不失是一个好的选择；
其实在做系列总结的时候，会尽可能用系列的方法去解答，但是一题多解也是我们追求的，而且我们最后想要实现的，肯定是不局限与某写法，而是只要看到了，就能 a 出来；
所以努力将大部分常规的 tab 复习一遍，然后再慢慢填补，总结属于自己的解题方案，才是做总结的目的吧；
与大家一起努力呀
题目汇总
46. 全排列
分析
不含重复数字，要求的是全排列，所以不同顺序的排列都得算上，这样在枚举过程中要知道自己曾经获取过哪些值
在枚举过程中缓存两个数组 arr,getIndex, arr 是枚举过程中的数组， getIndex 是走过值状态，如果当前 arr 走过对应的下标的值为 1，没有走过就是 0
在每一层给临时数组 arr 添加值的时候，需要保证不会重复添加，可以在每一次遇到的时候再遍历 arr，由于值是唯一的，也是可以的；
在这里是用空间换时间，用 getIndex 数组缓存对应的状态，每一次查找的复杂度是 O(1)
每一次需要枚举完整的数组，需要枚举 n 次所以时间复杂度为 O(n2),空间复杂度 O(n)
参考视频：传送门
var permute = function (nums) { let ret = [];
const dfs = (arr, getIndex) => { if (arr.length === nums.length) { ret.push(arr); return; } for (let i = 0; i < nums.length; i++) { const num = nums[i]; if (!!getIndex[i]) continue; // 如果存在，则代表已经有这个值了 getIndex[i] = 1; dfs([...arr, num], getIndex); getIndex[i] = 0; } }; const getIndexArr = new Array(nums.length) dfs([], getIndexArr); return ret;};
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47. 全排列 II
分析
由于这个时候包含了重复的数字了，且不能有重复值，所以可以考虑到先排序
整理思路和题 1 一直，都是缓存两个数组，而且由于值有重复，所以不能用值是否相同来判断，只能用下标判断了
区别在于，每一次回溯回来，需要判断下一次的值是否和当前回溯值一样，如果一样就需要跳过，防止出现重复排列
时间复杂度 O(n2),空间复杂度 O(n)
var permuteUnique = function(nums) { const ret = [] const len = nums.length nums.sort((a,b)=>a-b) // 排序 const dfs = (arr,indexArr) => { if(arr.length === len ){ ret.push(arr) return } for(let i = 0;i<len;i++){ if(!!indexArr[i]) continue const num = nums[i] indexArr[i] = 1 dfs([...arr,num],indexArr) indexArr[i] = 0 // 回溯回来，如果下一个值一样，那么就是要重复走之前的老路了，所以还是直接跳过的好 while(nums[i+1]=== nums[i]) { i++ } } } dfs([],[]) return ret}
console.log(permuteUnique([1,1,2]))
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39. 组合总和
分析
candidates 是无重复，正整数数组
可以重复取值，但是由于和排列无关，不能倒退取，所以需要维护一个初始的下标值;与 [组合总和 IV] 形成对比
var combinationSum = function(candidates, target) { const ret = []
const dfs = (start,arr,sum) => { if(sum === target){ ret.push(arr) return } if(sum>target) return
for(let i = start;i<candidates.length;i++){ // 因为允许重复取，所以每一次都是从 start 这个节点开始取的 dfs(i,[...arr,candidates[i]],sum+candidates[i]) } }
dfs(0,[],0) return ret}
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40. 组合总和 II
分析
candidates 是有无重复，正整数数组
数组中的每一个值只能取一次；不可以重复取值，但是对于重复的值是可以取的，即 [1,1,2,3] -> 可以取 [1,1,2],[1,3] -> 4
为了不取到重复的值，就得跳过相同值，这个时候需要对数组排序
在每一层进行枚举的时候，循环中出现重复值的时候，剪掉这部分的枚举，因为肯定有相同的一部分
由于不可以重复取，所以 dfs 第一个入参的下标是要 +1 的，表示不可以重复取上一次哪一个值
var combinationSum2 = function (candidates, target) { candidates.sort((a,b)=>a-b) const ret= []
const dfs = (start,arr,sum) => { if(sum === target) { ret.push(arr) return } if(sum>target || start>= candidates.length) return for(let i = start;i<candidates.length;i++){ // 将重复的剪掉 if(i > start && candidates[i] === candidates[i-1]) continue // 这里的 start 是启动枚举的下标，但是插入到临时数组的值是当前下标的值 dfs(i+1,[...arr,candidates[i]],sum+candidates[i]) } } dfs(0,[],0) return ret}
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216. 组合总和 III
分析
给定的不是具体的数组，而是长度限制 k, 和目标值 target -- 等同于 candidates 是无重复，1-9 的正整数数组
所以可以看做是 39. 组合总和 的特殊情况，只是判定条件有出入
var combinationSum3 = function (k, n) { const ret = [];
const dfs = (start, arr, sum) => { if (arr.length === k && sum === n) { ret.push(arr); return; } if (arr.length > k || sum > n) { return; }
for (let i = start + 1; i < 10; i++) { dfs(i, [...arr, i], sum + i); } }; dfs(0, [], 0); return ret};
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377. 组合总和 Ⅳ
分析 -- 回溯
candidates 是无重复，正整数数组,可以重复取值且要取排列不同的组合
这道题和组合总和很像，区别在于本题求的是排列的数量，而题 1 求的是不重复的组合
所以这里不需要限制组合起始枚举的下标了，每一次都从 0 开始即可
然后超时了*/
var combinationSum4 = function (nums, target) { let ret = 0; const dfs = (sum) => { if (sum === target) { ret++; return; } if (sum > target) return; for (let i = 0; i < nums.length; i++) { dfs(sum + nums[i]); } }; dfs(0); return ret;};
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分析 -- dp
dp[i] 表示值为 i 的时候存在的组合数量
状态转移方程 dp[i] = sum(dp[i-nums[k]])
base case dp[0] = 1
var combinationSum4 = function (nums, target) { const dp = new Array(target+1) dp[0]= 1 // 如果刚好得到的值是0，那么就有 1，因为不取也是一种取法 for(let i = 1;i<target+1;i++){ dp[i] = 0 for(let j =0;j<nums.length;j++){ if(i>=nums[j]){ dp[i]+=dp[i-nums[j]] } } } return dp[target]}
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78. 子集
分析 -- 找规律
数组元素不相同，返回值不包含重复的子集，也就是不考虑位置排列情况
由于跟排列无关，所以只需要遍历一遍 nums 即可，没遍历一次获取到的值，都可以和现有的 ret 组合成新的一批数组，然后和旧的 item 组合成新的枚举数组
时间复杂度 O(n2)
var subsets = function (nums) { let ret = [[]] for(let num of nums ){ ret = [...ret,...ret.map(item => item.concat(num))] } return ret}
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分析 -- 迭代回溯
使用迭代的方法枚举所有的情况出来, 和多叉树遍历没啥区别
时间复杂度 O(N2)
var subsets = function (nums) { const ret = [] const dfs = (start,arr) => { ret.push(arr) if(arr.length === nums.length || start=== arr.length) return for(let i = start;i<nums.length;i++){ dfs(i+1,[...arr,nums[i]]) } } dfs(0,[]) return ret}
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90. 子集 II
分析 -- 有重复值
和 78. 子集相比，就是多了重复值，且不允许重复值出现在返回数组中，所以明显要先排序了
然后在回溯过程中，如果下一次迭代的值和当前值一样，则跳过，达到去重的效果
var subsetsWithDup = function (nums) { nums.sort((a,b)=> a-b) const ret = [] const dfs = (start,arr) => { ret.push(arr) if(start === nums.length ) return // start 超出下标，就是取到了最大下标值的时候了 for(let i = start;i<nums.length;i++){ dfs(i+1,[...arr,nums[i]]) while(nums[i] === nums[i+1]){ i++ // 去重 } } } dfs(0,[]) return ret}
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131. 分割回文串
分析
这是一个变种的组合问题，因为排列顺序已经确定好了只要切割就好
所以在遍历过程中，只有当符合回文要求的子串，才能切割，然后往下走，否则剪掉较好
回文子串的判定可以简单的用左右双指针来实现
var partition = function(s) { const ret = [] // 判断是否是回文子串 function isValid(s) { if(s.length === 1) return true // 只有一个字符 let l = 0,r = s.length-1 while(l<r){ if(s[l] !== s[r]) return false l++ r-- } return true
} const dfs = (start,arr) => { if(start === s.length){ ret.push(arr) return } let temp ='' for(let i =start;i<s.length;i++){ temp+=s[i] if(isValid(temp)){ dfs(i+1,[...arr,temp]) } } } dfs(0,[]) return ret};
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93. 复原 IP 地址
分析
这道题和 131. 分割回文串 类似
这里也是切分字符串，只是判定条件变成了每一分段都要符合有效的 IP 地址，但是架子是一样的
这里的判定条件也多，只需要将合乎要求的条件算上，就能砍掉不少的分支
var restoreIpAddresses = function (s) { const ret = [];
function isValid(s) { if (s.length > 1 && s[0] == 0) return false; // 不能以 0 起头 if (s >= 1 << 8) return false; // 要在 [0,255] 之间 return true; }
const dfs = (start, arr) => { if (arr.length === 4 && start !== s.length) return; // 已经分成4分，但是还没分完 if (start === s.length) { if (arr.length === 4) { ret.push(arr.join(".")); } // 无论是否分成四份，都离开了 return; }
let str = ""; for (let i = start; i < s.length && i < start + 3; i++) { str += s[i]; if (isValid(str)) { dfs(i + 1, [...arr, str]); } } }; dfs(0, []); return ret;};
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112. 路径总和
分析
路径是 root-leaf 完整路线上的和为 target
dfs 中序遍历走下去即可
时间复杂度 O(n)
var hasPathSum = function(root, targetSum) { let ret = false const dfs = (root,sum) => { if(ret || !root) return // 只要一条路走通了，其他都不用走了 sum += root.val if(!root.left && !root.right && sum === targetSum) { ret = true return } if(root.left) dfs(root.left,sum) if(root.right) dfs(root.right,sum) } dfs(root,0) return ret};
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113. 路径总和 II
分析
找的还是 root - leaf 的路径，但是这一次要把找的所有符合要求的路径都保存起来
时间复杂度 O(n)
var pathSum = function(root, targetSum) { const ret = [] const dfs = (root,arr,sum) => { if(!root) return sum+=root.val arr = [...arr,root.val] if(!root.left && !root.right && sum == targetSum){ ret.push(arr) } if(root.left) dfs(root.left,[...arr],sum) if(root.right) dfs(root.right,[...arr],sum) } dfs(root,[],0) return ret};
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437. 路径总和 III
分析
这次找的路径可以是树中任意 起始-结束 节点,；
但是路径必须是向下的，也就是不能是 a.left - a - a.right 的样子，这其实是减轻难度的限制条件
所以还是一样的自顶向下遍历就好，但是遇到满足需求的路径，还是要继续遍历到叶子节点位置
和 112. 路径总和 与 113. 路径总和 II 最大不同是，这一次的路径是不限制起始点和终点的；
不限制终点，那么我可以在遍历过程中，只要满足 targetSum, 就记录一次，一直到叶子节点位置，不需要到了叶子节点再判断
而不限制起始点是根节点，那么就是可以以任意节点为起始点，也就是需要遍历整一棵树作为起始点时候，往下去找路径了；
时间复杂度 O(nlogn)
var pathSum = function (root, targetSum) { let ret = 0; // 这是以任意 root 节点找路径和的 dfs const dfs = (root, sum) => { if (!root) return; sum += root.val; if (sum === targetSum) ret++; if (!root.left && !root.right) return; // 叶子节点了，结束 if (root.left) dfs(root.left, sum); if (root.right) dfs(root.right, sum); };
// 这是遍历整棵树，然后继续往下走 const outer = (root) => { if (!root) return; dfs(root, 0); outer(root.left); outer(root.right); }; outer(root); return ret;};
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51. N 皇后
参考: leetcode-cn.com/problems/n-…
分析 -- 直接求符合要求的 chessboard
行就是树递归的深度，列就是每一层的宽度，使用回溯的办法进行树的 dfs 遍历
整个过程需要 3 大部分，回溯的方式遍历树，找出符合要求的节点 chessboard[row][col], 将符合要求的二维数组转换成符合要求的字符串数组
时间复杂度 O(n∗logn)
var solveNQueens = function (n) { const ret = []; // 1. N 皇后实际走的过程 -- 回溯树 const dfs = (row, chessboard) => { if (row === n) { // 已经到了叶子结点下 null 了 -- // 但是 chessboard 是一个二维数组，不能随便就push 进去的，需要深拷贝一下 ret.push(getStrChessboad(chessboard)); return; } // 每一行都是从 0 - n-1 , 然后不符合要求的就回溯回去 for (let col = 0; col < n; col++) { if (isValid(row, col, chessboard)) { // 如果 chessboard[row][col] 符合要求，则算一条路 chessboard[row][col] = "Q"; dfs(row + 1, chessboard); chessboard[row][col] = "."; // 回溯回来 } } };
// 判断当前节点是否符合 N 皇后的要求 -- 需要注意，这里 [0,n-1] 是从左往右算 function isValid(row, col, chessboard) { // 同一列 for (let i = 0; i < row; i++) { if (chessboard[i][col] === "Q") { return false; } } // 从左往右 45` 倾斜 for (let i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) { if (chessboard[i][j] === "Q") { return false; } } // 从右往左 135` 倾斜 for (let i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) { if (chessboard[i][j] === "Q") { return false; } } // 如果不是同一列或者左右斜线，则满足要求 return true; }
// 将二维数组的 N 皇后转成一维数组字符串形式 function getStrChessboad(chessboard) { const ret = []; chessboard.forEach((row) => { let str = ""; row.forEach((item) => { str += item; }); ret.push(str); }); return ret; }
const chessboard = new Array(n).fill([]).map(() => new Array(n).fill(".")); dfs(0, chessboard); return ret;};
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52. N 皇后 II
分析
问题和 51. N 皇后 基本一样，只是求的值从完整的 N 皇后方案，变成了只要知道有几个就可以了
所以第三部分转换可以直接删除，然后直接拷贝过来即可
var totalNQueens = function (n) { let ret = 0;
const dfs = (row, chessboard) => { if (row === n) { ret++; return; }
for (let col = 0; col < n; col++) { if (isValid(row, col, chessboard)) { chessboard[row][col] = "Q"; dfs(row + 1, chessboard); chessboard[row][col] = "."; } }
function isValid(row, col, chessboard) { for (let i = 0; i < row; i++) { if (chessboard[i][col] === "Q") return false; }
for (let i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) { if (chessboard[i][j] === "Q") return false; }
for (let i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) { if (chessboard[i][j] === "Q") return false; } return true; } }; const chessboard = new Array(n).fill([]).map(() => new Array(n).fill(".")); dfs(0, chessboard); return ret;};
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@分析
回溯过程以及很简单了，但是判定条件 isValid 有没有更好的办法来处理呢
我们在第一题的时候是为了要创建一个实例 N 皇后，所以需要用到数组，而现在不需要具体的 N 皇后，所以不用数组的形式也可以用其他的形式来展示 N 皇后
用 3 个二进制的位 col, dlr, drl 分别表示 列上的值，从左启动 45 的值， 从右启动的 135 的值
这里 col 是很容易理解的，因为在每一行的 i 值，当了需要判断的 row ，对应的 i 的值是不会发生变化的
对于 dlr 来说，二进制对应的位是倾斜的,只有这样的值才符合 45` 倾斜；同理， drl 也是一样的 Q . . . . .. Q . . . . .. Q . . . . .. Q . . . . .. Q . . . . .
所以
var totalNQueens = function (n) { let ret = 0; const dfs = (r, col, dlr, drl) => { if (r === n) { ret++; return; } for (let i = 0; i < n; i++) { // 当前坐标转成二进制位对应的值 const _col = 1 << i; const _dlr = 1 << (r + i); // 这里表示在其他行 的 i 值，到了当前 r，对应的值就应该是 1 << (r+i)， 所以我们设置这么一个值去试其他的值，看看是否满足要求 const _drl = 1 << (n - i + r); if ((col & _col) || (dlr & _dlr) || (drl & _drl)) continue; // 只要有一个为 true, dfs(r + 1, col | _col, dlr | _dlr, drl | _drl); } }; dfs(0, 0, 0, 0); return ret;};
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