ECDSA 安全漏洞深度解析：从非 ce 泄露到密钥恢复实战

DSA 基础入门

ECDSA 是基于椭圆曲线群的数字签名算法(DSA)变种。DSA 包含三个核心算法：

1. 密钥生成：随机选择私钥 x∈ℤq，计算公钥 y=gˣ mod p

2. 签名生成：对消息 m，选择随机 nonce k，计算：

3. r = (gᵏ mod p) mod q

4. s = k⁻¹(H(m)+xr) mod q

5. 签名验证：检查 r = (gᴴ⁽ᵐ⁾yʳ)ˢ⁻¹ mod p mod q

ECDSA 的特殊性

ECDSA 与 DSA 的核心区别在于使用椭圆曲线群而非乘法群：

• 公钥 y=gˣ变为椭圆曲线点

• r 值取椭圆曲线点 gᵏ的 x 坐标

• 验证时计算椭圆曲线点(gᴴ⁽ᵐ⁾yʳ)ˢ⁻¹的 x 坐标

非 ce 重用导致密钥泄露

若两个签名使用相同 nonce k：

1. 通过 s₁-s₂ = k⁻¹(H(m₁)-H(m₂))可解出 k

2. 代入 x = r⁻¹(ks-H(m))即可恢复私钥

# 攻击示例代码k = (s1 - s2)^-1 * (H(m1) - H(m2)) % qx = (s1*k - H(m1)) * pow(r, -1, q) % q

非 ce 部分泄露攻击

即使仅泄露少量 nonce 比特，也能通过格攻击恢复密钥：

• Howgrave-Graham 和 Smart：3 比特泄露即可攻破 160-bit DSA

• Nguyen 和 Shparlinski：扩展至 ECDSA

• LadderLeak 攻击：仅需<1 比特泄露

# 格攻击矩阵构造示例matrix = [    [order, 0, 0, 0],    [0, order, 0, 0],    [r1*s1_inv, r2*s2_inv, 2^128/order, 0],    [msg1*s1_inv, msg2*s2_inv, 0, 2^128]]

YubiKey 真实漏洞利用

当 nonce 存在 80 比特固定前缀时：

1. 构造差值矩阵消除未知固定值

2. 通过 LLL 算法获取 nonce 差值

3. 代数推导恢复私钥：

x = (rn*s1 - r1*sn)^-1 * (sn*m1 - s1*mn - s1*sn*(k1-kn)) % order

防护建议

1. 首选 EdDSA：内置安全 nonce 生成

2. 恒定时间实现：防止时序侧信道

3. RFC 6979：确定性 nonce 生成标准

4. 盲签名技术：隐藏算术操作

攻击所需签名数量与 nonce 泄露比特数的关系：

本文证明 ECDSA 的安全性极度依赖 nonce 的随机性，任何微小的偏差都可能导致整个签名体系崩溃。更多精彩内容 请关注我的个人公众号 公众号（办公 AI 智能小助手）公众号二维码

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