一、 二叉树

>二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。如下图所示

1 二叉树的五种性质

掌握二叉树的五种性质，能让我们在笔试中做题变得游刃有余，也就有更多的时间处理其他的题目。其具体的性质看下图。

![二叉树的 5 个性质]

2 两个特别的二叉树

完全二叉树:

满二叉树:

完全二叉树和满二叉树长啥样呢？

3 常见的存储方法

我们知道数组最大的一个特点就是内存连续，方便随机访问，下标通常从 0 开始。好了，知道这些我们就先看看用数组如何存储一棵二叉树。

我们了解了二叉树的一点基本概念后，为了表示节点之间的关系，引入链表结构，用左右两个指针分别指向左节点和右节点，这样就可以串联整个二叉树，如下图所示。

3 二叉树的遍历

先序遍历:访问根节点，访问当前节点的左子树；若当前节点无左子树，则访问当前节点的右子树；

中序遍历访问当前节点的左子树；访问根节点；访问当前节点的右子树；

后序遍历:从根节点出发，依次遍历各节点的左右子树，直到当前节点左右子树遍历完成后，才访问该节点元素。

层次遍历:

二、 二叉排序树

二叉排序树（Binary Sort Tree）又称二叉查找树、二叉搜索树。 它或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：

（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

（3）左、右子树也分别为二叉排序树；

其高度与树中结点个数 n 成对数关系，检索的时间开销为 O(logn)。但是很有可能检索的时间将变成线性的情况。

三、 哈夫曼树

哈夫曼树也叫做最优二叉树，一种带权路径长度最短的二叉树。那么什么是树的带权路径长度，它是树中所有的叶子节点的权值乘上其根节点的路径长度。

1 如何构造哈夫曼树

四、 平衡二叉树

之前我们知道了二叉排序树出现了线性的情况，所以需要想办法避免那种情况发生。这样两位爷爷发明了平衡二叉排序树，又叫 AVL 树。那么是怎么定义的呢？平衡二叉排序树是一类特殊的二叉排序树，它或者为空树，或者其左右子树都是平衡二叉排序树，而且其左右的子数高度之差绝对值不超过 1.为了保证相对平衡，每次插入元素都会做相应的旋转，那么下面来看看这几种情况。

1 平衡二叉树与非平衡二叉树

2 平衡调整

LL 型调整

如下图，因为在 A 的左孩子的左孩子插入新的节点，导致 A 的平衡因子从 1 变为 2，不在满足根本性质[-1,1]，所以需要通过旋转。显然，按照大小关系，结点 B 应作为新的根结点，其余两个节点分别作为左右孩子节点才能平衡，这样看来，仿佛 A 结点绕结点 B 顺时针旋转一样。

下图中，当在节点 5 的左子树中插入节点的时候而导致不平衡。这种情况调整如下：首先将元素 5 的左孩子 2 提升为新的根结点；然后将原来的根结点元素 5 降为元素 2 的右孩子；其他各子树按大小关系连接。

RR 型调整

如下图，因为在 A 的右孩子的右孩子插入新的节点，导致 A 的平衡因子从-1 变为-2，不在满足根本性质[-1,1]，所以需要通过旋转。显然，按照大小关系，结点元素 7 应作为新的根结点，其余两个节点分别作为左右孩子节点才能平衡，这样看来，仿佛节点元素 5 绕结点元素 7 逆时针旋转一样。

如下图，因为在元素 5 的右孩子的右孩子插入新的节点，导致元素 5 的平衡因子从-1 变为-2，不在满足根本性质[-1,1]，所以需要通过旋转。显然，按照大小关系，结点元素 7 应作为新的根结点，其余两个节点分别作为左右孩子节点才能平衡，这样看来，仿佛节点元素 5 绕结点元素 7 逆时针旋转一样。

LR 调整

由于节点元素 5 的左孩子的右子树上插入新节点，导致不平衡。此时元素 5 的平衡因子由 1 变为 2。第一张图是 LR 型的最简单形式。显然，按照大小关系，元素 3 应作为新的根结点，其余两个节点分别作为左右孩子节点才能平衡。

由于节点元素 6 增加一个左孩子，导致元素 4 变得不平衡。先顺时针旋转元素 7 再逆时针旋转 4 元素达到平衡。

RL 调整

当在元素 5 的右孩子的左子树增加一个节点 7 的时候，会造成不平衡的情况。先逆时针旋转成 RR 情况，再将元素 5 顺时针旋转。

第二种情况方法类似，看起来会复杂一点。当在元素 7 得左孩子 6 增加左孩子元素 5 得时候，导致元素 4 变得不平衡。那么先顺时针调整元素 7，再逆时针调整元素 4

五、 B 树和 B+树

小伙伴们有没有想过，为什么很多数据库中的索引采用 B+树呢？以及为什么索引是放在磁盘上。

1 B 树

如果使用二叉树作为索引的底层实现结构，树会变得很高，从而增加了磁盘的 IO 次数，从而影响数据查询时间。因此为了降低其高度，让一个节点有多个子节点，B 树就诞生了。

B 树的容颜

一个 M 阶 B 树的哪些特性

官方英文

1、Every node has at most m children.

2、Every non-leaf node (except root) has at least [m/2] child nodes.

3、The root has at least two children if it is not a leaf node.

4、A non-leaf node with k children contains k − 1 keys.

5、All leaves appear in the same level.

中文

• 根节点的儿子数量范围[2,M]

• 每个中间节点包含 k-1 个关键字和 k 个孩子，孩子的数量 = 关键字的数量 +1，k 的取值范围为 [ceil(M/2), M]。

• 叶子节点包括 k-1 个关键字（叶子节点没有孩子），k 的取值范围为 [ceil(M/2), M]。

• 假设中间节点节点的关键字为：Key[1], Key[2], …, Key[k-1]，且关键字按照升序排序，即 Key[i]<Key[i+1]。此时 k-1 个关键字相当于划分了 k 个范围，也就是对应着 k 个指针，即为：P[1], P[2], …, P[k]，其中 P[1] 指向关键字小于 Key[1] 的子树，P[i] 指向关键字属于 (Key[i-1], Key[i]) 的子树，P[k] 指向关键字大于 Key[k-1] 的子树。

• 所有叶子节点位于同一层。

举个例子

上图为三阶图，查看磁盘 3，关键字为 20，30.三个孩子分别是(18,19),(22,25),(32,36).其中(18,19)小于 20，(22,25)在(20,30)之间，(32，36)大于 30.

那么在查找搜索的过程中，是怎样的访问过程呢？假设查找元素 7

• 与根节点比较，得到指针 p1

• 根据 p1 来到磁盘 2，关键字为(9,15),发现小于 9，得到指针 p1

• 根据 p1 来到磁盘 5，关键字为(7,8),发现正好有 7.

2 B+树

前文介绍了二分查找方法为 O(log2n)，但是会出现深度非常大退化为链表，其查找数据的时间复杂度变为 O(n)。从而就出现了平衡二叉树。

B+树容颜

B+树性质

• 有 m 个孩子的节点就有 m 个关键字(孩子数量=关键字数)，而在 B 树中孩子数量=关键字数+1

• 非叶子节点关键字也会出现在子节点中，而且子节点中为所有关键字的最大或最小

非叶子节点只是用来索引，不保存数据的记录。在 B 树中，非叶子节点既保存索引也保存数据记录。

• 所有关键字都存在于叶子节点，叶子节点构成有序链表，而且关键字按照从大到小或者从小到大顺序连接。

优点：

• 因为 B+树中间节点没有关键字，所以同样大小的磁盘页可以容纳更多的节点元素，也就是说在相同的情况下，B+树更加的矮胖，这样的话，IO 的次数也就比较少。

• B+树的查询相比 B 树更加稳定，因为 B+树的查询是必须到叶子节点，而 B 树有可能在中间节点，也可能非中间节点。

• B+树叶子节点形成了有序链表，更加有利于范围的查询

那么其查询的过程是什么样的呢。我们假设查询元素 13

• 首先与根节点的关键字(10,18,40)比较，13 在 10 和 18 之间，此时得到 P1 指针

• 磁盘 2 中的关键字为(10,12,15),这时 15 大于 13，所有磁盘 6

• 关键字为(12,13)，找到 13

六、 红黑树

虽然在大部分情况下，面试中不会让你写出来，在面试中还是经常会问原理的内容，所以了解了解更稳妥(比如 c++中的很荣 STL 底层就是基于它),时间复杂度是 O(lgn)。其基本概念如下。

1 红黑树的性质

首先红黑树的节点要么是红色，要么是黑色。

1 根节点是黑色的

2 每个叶子节点是黑色的且不存储数据

3 任何相邻的节点不能同时为红色

4 每个节点，从该节点到可达的叶子节点的所有路径，其黑色节点的数目相同。

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