递推算法与递推套路(算法基础篇)
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相信了解算法同学经常会说动态规划太难了,看到题目完全不知从何下手,或者是说“一看题解就会,一看题目就废”这样的一个状态。本质上是由于学习动态规划的时候,学习方法不对,最终导致南辕北辙,没有掌握其中精髓。而动态规划与递推算法又有着暧昧不清的关系,我们选择先从递推算法入手,一步一步揭开动态规划的神秘面纱。
一、递推公式
每一个递推算法,都有一个递推公式,通过递推公式我们可以更加明确的了解递推算法。
1.1 斐波那契数列的递推公式
f(n) = f(n-1) + f(n-2) ,这是我们斐波那契数列的递推公式,有很多同学可能会问,这个公式实际有什么用呢?接下来,我们来直接看一个算法题:爬楼梯
LeetCode 70. 爬楼梯
这道题我们要怎么理解呢?我们如果想要爬到第 n 阶楼梯,那么上一步有可能是在 n-1 ,也有可能是在 n-2。
因此,这道题的解法就一目了然了:
二、数学归纳法
上面带着大家一起学习了一下斐波那契数列递推公式的实际应用。那么,为什么上面这个公式就能够描述这一类问题的特性呢?这就要再聊一下数学归纳法了。
数学归纳法在整个计算机科学当中是非常重要的,主要分为以下几步:
验证 k0 成立(边界条件)
证明如果 k(i)成立,那么 k(i+1)也成立
联合步骤 1 和步骤 2,证明由 k0~k(n)成立
不知道大家是否还记得,之前我们学习二叉树时,有扩展学习过递归程序的设计,而递归程序的设计要点就是数学归纳法在广义方面的应用,又称为结构归纳法。
那么,我们再来看一下上面的爬楼梯问题,怎么使用数学归纳法分析。
验证 k0 成立:在爬楼梯问题中,我们的边界条件就是当 n 为 0 和 n 为 1。
证明如果 k(i)成立,那么 k(i+1)也成立:我们假设 res[i-1] 和 res[i-2] 是正确的,那么,res[i]也是成立的。
联合步骤 1 和步骤 2,证明由 k0~k(n)成立:由于步骤 1 和步骤 2 联立,必然能够得出 res[n]是成立的。
三、如何求解递推问题(递推问题的求解套路)
论求解套路的重要性:求解套路就是递推算法的学习方式,如果学习方式错了,很可能南辕北辙,花了比别人更多的时间,反而掌握的更少。就像健身的时候,如果你掌握了一些动作要领,可能 1~2 个月肌肉就出来了,但是你要是没有掌握动作要领,练错了,不仅长得肌肉变成肥膘,还可能伤到自己。
确定递推状态(重点)
一种函数符号 f(x) 以及赋予函数符号一个含义
例如上面的斐波那契数的求解问题,我们要赋予 f(x) 一个含义: 爬上第 x 阶楼梯的方法总数
函数所对应的值就是我们要求解的答案
如:f(x) = y 中, x 是自变量, y 是因变量。而在上面爬楼梯的问题当中,自变量 x 就是要爬的楼梯数,而因变量 y 就是爬到 x 阶楼梯的方法总数。因此,我们再求解问题的时候,最终要的是确定哪个是自变量,哪个是因变量。通常,因变量的值就是我们要求解的值。
那么,我们要如何分析题目中的自变量是什么呢?我们要确定,会影响因变量的因素有哪些。如爬楼梯问题中,影响方法总数的就只有我们当前要爬的楼梯数,因此,自变量就是楼梯数 x。
思维练习
首先来分析一下递推状态是什么
首先第一个会影响我们方法总数的自变量就是 n,即房间被划分成了几个区块,其次,由于房间是环形的,为了不让首尾颜色相同,我们还需要将首尾颜色也记录到我们的递推状态当中,那么,我们就得到了如下的公式:f(n, i, j) = y,其中,n 代表一个房间被分成几个区块,i 和 j 分别代表首尾颜色, y 代表方法总数。这个公式的意思是:总共有 n 个区块的房间,第一个区块涂第 i 种颜色,最后一个区块涂第 j 种颜色并且相邻颜色不同的方法总数为 y。
递推公式
上面分析得出了 f(n, i, j) = y 这样一个简易版的公式,现在,我们就需要确定,通过怎样的运算能够算出 f(n, i, j)
注意,上面三个递推公式都是正确的,只是在不断的优化我们的递推公式,提升程序效率,但三种方式都可以求解出正确答案。
确定递推公式
确定 f(n) 依赖于哪些 f(i) 的值
分析边界条件(k0)
程序实现
递归
循环
四、递推与动态规划
动态规划问题其实就是求解最优化的递推问题,动态规划问题相较于普通的递推问题,多出了一个决策的过程。空讲概念有点抽象,我们来结合具体问题来分析。依旧还是爬楼梯问题,不过比之前的爬楼梯多了一个体力花费。
LeetCode 746. 使用最小花费爬楼梯
这道题与上面简单的爬楼梯问题类似,差别就在于每上一层楼梯,我们需要花费一定的体力,要求我们求出花费最小的体力。
通过上面的分析,我们可以得出以下公式:dp[n] = min(dp[n-2] + cost[n-2], dp[n-1] + cost[n-1])
翻译一下上面的公式:爬上第 n 层楼梯的总体力花费应该等于最后一步从第 n-2 层爬上来的体力花费与最后一步是从 n-1 层爬上来的体力花费的最小值。
五、结语
大家都觉的动态规划学起来很难,主要是因为我们要真正学好动态规划,需要从:递推状态定义、状态转移方程推导、程序实现等三个大方向上入手并学习,并且这三个方向都是不好学的。今天通过递推算法与递推公式的相关学习,以及初步的了解了递推算法与动态规划的关系。这些都是我们后续学习动态规划的基础,其中尤为重要的是数学归纳法的理解与应用。“光说不练假把式”,今天说的大部分都是理论,下一篇文章《递推算法与递推套路(手撕算法篇)》将会直接从一些递推或动态规划的题目入手,学习递推程序或动态规划程序的求解套路,让你看到递推和动归不再茫然。敬请期待!
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