归并排序与快速排序以及 PHP 实现

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发布于: 2021 年 03 月 14 日

一、分治思想

分治思想：分治，顾明思意，就是分而治之，将一个大问题分解成小的子问题来解决，小的子问题解决了，大问题也就解决了。
分治与递归的区别：分治算法一般都用递归来实现的。分治是一种解决问题的处理思想，递归是一种编程技巧。

二、归并排序

算法原理

先把数组从中间分成前后两部分，然后对前后两部分分别进行排序，再将排序好的两部分合并到一起，这样整个数组就有序了。这就是归并排序的核心思想。如何用递归实现归并排序呢？写递归代码的技巧就是分写得出递推公式，然后找到终止条件，最后将递推公式翻译成递归代码。递推公式怎么写？如下

递推公式：merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))

终止条件：p >= r 不用再继续分解

性能分析

算法稳定性：

归并排序稳不稳定关键要看 merge()函数，也就是两个子数组合并成一个有序数组的那部分代码。在合并的过程中，如果 A[p…q] 和 A[q+1…r] 之间有值相同的元素，那我们就可以像伪代码中那样，先把 A[p…q] 中的元素放入 tmp 数组，这样就保证了值相同的元素，在合并前后的先后顺序不变。所以，归并排序是一种稳定排序算法。

时间复杂度：分析归并排序的时间复杂度就是分析递归代码的时间复杂度

如何分析递归代码的时间复杂度？

递归的适用场景是一个问题 a 可以分解为多个子问题 b、c，那求解问题 a 就可以分解为求解问题 b、c。问题 b、c 解决之后，我们再把 b、c 的结果合并成 a 的结果。若定义求解问题 a 的时间是 T(a)，则求解问题 b、c 的时间分别是 T(b)和 T(c)，那就可以得到这样的递推公式：T(a) = T(b) + T(c) + K，其中 K 等于将两个子问题 b、c 的结果合并成问题 a 的结果所消耗的时间。这里有一个重要的结论：不仅递归求解的问题可以写成递推公式，递归代码的时间复杂度也可以写成递推公式。套用这个公式，那么归并排序的时间复杂度就可以表示为：

		T(1) = C； #n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
    T(n) = 2*T(n/2) + n； #n>1，其中n就是merge()函数合并两个子数组的的时间复杂度O(n)。
    T(n) = 2*T(n/2) + n
         = 2(2T(n/4) + n/2) + n = 4T(n/4) + 2n
         = 4(2T(n/8) + n/4) + 2n = 8T(n/8) + 3*n
         = 8(2T(n/16) + n/8) + 3n = 16T(n/16) + 4*n
         ......
         = 2^k  T(n/2^k) + k  n
         ......

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当T(n/2^k)=T(1) 时，也就是 n/2^k=1，我们得到 k=log2n。将 k 带入上面的公式就得到T(n)=Cn+nlog2n。如用大 O 表示法，T(n)就等于O(nlogn)。所以，归并排序的是复杂度时间复杂度就是O(nlogn)。

空间复杂度：归并排序算法不是原地排序算法，空间复杂度是 O(n)

为什么？因为归并排序的合并函数，在合并两个数组为一个有序数组时，需要借助额外的存储空间。为什么空间复杂度是 O(n)而不是 O(nlogn)呢？如果我们按照分析递归的时间复杂度的方法，通过递推公式来求解，那整个归并过程需要的空间复杂度就是 O(nlogn)，但这种分析思路是有问题的！因为，在实际上，递归代码的空间复杂度并不是像时间复杂度那样累加，而是这样的过程，即在每次合并过程中都需要申请额外的内存空间，但是合并完成后，临时开辟的内存空间就被释放掉了，在任意时刻，CPU 只会有一个函数在执行，也就只会有一个临时的内存空间在使用。临时空间再大也不会超过 n 个数据的大小，所以空间复杂度是 O(n)。

实现

    /**     * 归并排序     * @param array $a     */    public function mergeSort(array $array)    {        $low = 0;        $n = count($array);        $this->mergeSortRecursive($array, $low, $n - 1);    }
    private function mergeSortRecursive(array $array, $low, $high)    {        // 递归终止条件        if ($low >= $high) {            return [$array[$high]];        }        // 取中间位置$mid        $mid = $low + (($high - $low) >> 1);        // 递归，合并        return $this->merge($this->mergeSortRecursive($array, $low, $mid), $this->mergeSortRecursive($array, $mid + 1, $high));    }
    private function merge(array $leftArr, array $rightArr)    {        // 归并排序中最有意思的部分：可以延伸考多个有序数组合并问题        $newArr = [];        $leftIndex = $rightIndex = 0;
        $leftCount = count($leftArr);        $rightCount = count($rightArr);
        while ($leftIndex < $leftCount && $rightIndex < $rightCount) {            $newArr[] = $leftArr[$leftIndex] <= $rightArr[$rightIndex] ? $leftArr[$leftIndex++] : $rightArr[$rightIndex++];        }        // 这里要考虑，如果拼接完成后，数组还有剩余的处理        $start = $leftIndex;        $end = $leftCount;        $corpArr = $leftArr;        if ($rightIndex < $rightCount) {            $start = $rightIndex;            $end = $rightCount;            $corpArr = $rightArr;        }        while ($start < $end) {            $newArr[] = $corpArr[$start++];        }        return $newArr;    }

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三、快速排序

算法原理

快排的思想是这样的：如果要排序数组中下标从 p 到 r 之间的一组数据，我们选择 p 到 r 之间的任意一个数据作为 pivot（分区点）。然后遍历 p 到 r 之间的数据，将小于 pivot 的放到左边，将大于 pivot 的放到右边，将 povit 放到中间。经过这一步之后，数组 p 到 r 之间的数据就分成了 3 部分，前面 p 到 q-1 之间都是小于 povit 的，中间是 povit，后面的 q+1 到 r 之间是大于 povit 的。根据分治、递归的处理思想，我们可以用递归排序下标从 p 到 q-1 之间的数据和下标从 q+1 到 r 之间的数据，直到区间缩小为 1，就说明所有的数据都有序了。

递推公式：quick_sort(p…r) = quick_sort(p…q-1) + quick_sort(q+1, r)

终止条件：p >= r

性能分析

算法稳定性：

因为分区过程中涉及交换操作，如果数组中有两个 8，其中一个是 pivot，经过分区处理后，后面的 8 就有可能放到了另一个 8 的前面，先后顺序就颠倒了，所以快速排序是不稳定的排序算法。比如数组[1,2,3,9,8,11,8]，取后面的 8 作为 pivot，那么分区后就会将后面的 8 与 9 进行交换。

时间复杂度：最好、最坏、平均情况

快排也是用递归实现的，所以时间复杂度也可以用递推公式表示。

如果每次分区操作都能正好把数组分成大小接近相等的两个小区间，那快排的时间复杂度递推求解公式跟归并的相同。

T(1) = C； n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。

T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1

所以，快排的时间复杂度也是 O(nlogn)。

如果数组中的元素原来已经有序了，比如 1，3，5，6，8，若每次选择最后一个元素作为 pivot，那每次分区得到的两个区间都是不均等的，需要进行大约 n 次的分区，才能完成整个快排过程，而每次分区我们平均要扫描大约 n/2 个元素，这种情况下，快排的时间复杂度就是 O(n^2)。

前面两种情况，一个是分区及其均衡，一个是分区极不均衡，它们分别对应了快排的最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度。那快排的平均时间复杂度是多少呢？T(n)大部分情况下是 O(nlogn)，只有在极端情况下才是退化到 O(n^2)，而且我们也有很多方法将这个概率降低。

空间复杂度：快排是一种原地排序算法，空间复杂度是 O(1)

原地交换的实现图解

实现

   /**     * 快排     * @param array $array     * @return array     */    public function quickSort(array $array)    {        $count = count($array);        $this->quickSortRecursive($array, 0, $count - 1);        return $array;    }
    private function quickSortRecursive(array &$array, int $left, int $right)    {        if ($left >= $right) {            return;        }        $q = $this->partition($array, $left, $right);        $this->quickSortRecursive($array, $left, $q - 1);        $this->quickSortRecursive($array, $q + 1, $right);    }
    private function partition(array &$array, int $left, int $right)    {        $pivot = $array[$right];        $index = $left;
        for ($j = $left; $j < $right; ++$j) {            if ($array[$j] < $pivot) {                $tmp = $array[$j];                $array[$j] = $array[$index];                $array[$index] = $tmp;                $index ++;            }        }        $tmp = $array[$index];        $array[$index] = $array[$right];        $array[$right] = $tmp;
        return $index;    }

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四、归并排序与快速排序的区别

归并和快排用的都是分治思想，递推公式和递归代码也非常相似，那它们的区别在哪里呢？

归并排序，是先递归调用，再进行合并，合并的时候进行数据的交换。所以它是自下而上的排序方式。何为自下而上？就是先解决子问题，再解决父问题。
快速排序，是先分区，在递归调用，分区的时候进行数据的交换。所以它是自上而下的排序方式。何为自上而下？就是先解决父问题，再解决子问题。

发布于: 2021 年 03 月 14 日阅读数: 14

原文链接:【http://xie.infoq.cn/article/ade1b748ead8a37c992a24ec2】。文章转载请联系作者。

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