什么是 KMP 算法（详解）

什么是 KMP 算法：

KMP 是三位大牛：D.E.Knuth、J.H.Morris 和 V.R.Pratt 同时发现的。其中第一位就是《计算机程序设计艺术》的作者！！

KMP 算法要解决的问题就是在字符串（也叫主串）中的模式（pattern）定位问题。说简单点就是我们平时常说的关键字搜索。模式串就是关键字（接下来称它为 P），如果它在一个主串（接下来称为 T）中出现，就返回它的具体位置，否则返回-1（常用手段）。

首先，对于这个问题有一个很单纯的想法：从左到右一个个匹配，如果这个过程中有某个字符不匹配，就跳回去，将模式串向右移动一位。这有什么难的？

我们可以这样初始化：

之后我们只需要比较 i 指针指向的字符和 j 指针指向的字符是否一致。如果一致就都向后移动，如果不一致，如下图：

A 和 E 不相等，那就把 i 指针移回第 1 位（假设下标从 0 开始），j 移动到模式串的第 0 位，然后又重新开始这个步骤：

基于这个想法我们可以得到以下的程序：

/**
 * 暴力破解法
 * @param ts 主串
 * @param ps 模式串
 * @return 如果找到，返回在主串中第一个字符出现的下标，否则为-1
 */
public static int bf(String ts, String ps) {
    char[] t = ts.toCharArray();
    char[] p = ps.toCharArray();
    int i = 0; // 主串的位置
    int j = 0; // 模式串的位置
    while (i < t.length && j < p.length) {
       if (t[i] == p[j]) { // 当两个字符相同，就比较下一个
           i++;
           j++;
       } else {
           i = i - j + 1; // 一旦不匹配，i后退
           j = 0; // j归0
       }
    }
    if (j == p.length) {
       return i - j;
    } else {
       return -1;
    }
}

上面的程序是没有问题的，但不够好！

如果是人为来寻找的话，肯定不会再把 i 移动回第 1 位，因为主串匹配失败的位置前面除了第一个 A 之外再也没有 A 了，我们为什么能知道主串前面只有一个 A？因为我们已经知道前面三个字符都是匹配的！（这很重要）。移动过去肯定也是不匹配的！有一个想法，i 可以不动，我们只需要移动 j 即可，如下图：

上面的这种情况还是比较理想的情况，我们最多也就多比较了再次。但假如是在主串“SSSSSSSSSSSSSA”中查找“SSSSB”，比较到最后一个才知道不匹配，然后 i 回溯，这个的效率是显然是最低的。

大牛们是无法忍受“暴力破解”这种低效的手段的，于是他们三个研究出了 KMP 算法。其思想就如同我们上边所看到的一样：“利用已经部分匹配这个有效信息，保持 i 指针不回溯，通过修改 j 指针，让模式串尽量地移动到有效的位置。”

所以，整个 KMP 的重点就在于当某一个字符与主串不匹配时，我们应该知道 j 指针要移动到哪？

接下来我们自己来发现 j 的移动规律：

如图：C 和 D 不匹配了，我们要把 j 移动到哪？显然是第 1 位。为什么？因为前面有一个 A 相同啊：

如下图也是一样的情况：

可以把 j 指针移动到第 2 位，因为前面有两个字母是一样的：

至此我们可以大概看出一点端倪，当匹配失败时，j 要移动的下一个位置 k。存在着这样的性质：最前面的 k 个字符和 j 之前的最后 k 个字符是一样的。

如果用数学公式来表示是这样的

P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]

这个相当重要，如果觉得不好记的话，可以通过下图来理解：

弄明白了这个就应该可能明白为什么可以直接将 j 移动到 k 位置了。

因为:

当T[i] != P[j]时有T[i-j ~ i-1] == P[0 ~ j-1]由P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]必然：T[i-k ~ i-1] == P[0 ~ k-1]

公式很无聊，能看明白就行了，不需要记住。

这一段只是为了证明我们为什么可以直接将 j 移动到 k 而无须再比较前面的 k 个字符。

好，接下来就是重点了，怎么求这个（这些）k 呢？因为在 P 的每一个位置都可能发生不匹配，也就是说我们要计算每一个位置 j 对应的 k，所以用一个数组 next 来保存，next[j] = k，表示当 T[i] != P[j]时，j 指针的下一个位置。

很多教材或博文在这个地方都是讲得比较含糊或是根本就一笔带过，甚至就是贴一段代码上来，为什么是这样求？怎么可以这样求？根本就没有说清楚。而这里恰恰是整个算法最关键的地方。

public static int[] getNext(String ps) {
    char[] p = ps.toCharArray();
    int[] next = new int[p.length];
    next[0] = -1;
    int j = 0;
    int k = -1;
    while (j < p.length - 1) {
       if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
           next[++j] = ++k;
       } else {
           k = next[k];
       }
    }
    return next;
}

这个版本的求 next 数组的算法应该是流传最广泛的，代码是很简洁。可是真的很让人摸不到头脑，它这样计算的依据到底是什么？

好，先把这个放一边，我们自己来推导思路，现在要始终记住一点，next[j]的值（也就是 k）表示，当 P[j] != T[i]时，j 指针的下一步移动位置。

先来看第一个：当 j 为 0 时，如果这时候不匹配，怎么办？

像上图这种情况，j 已经在最左边了，不可能再移动了，这时候要应该是 i 指针后移。所以在代码中才会有 next[0] = -1;这个初始化。

如果是当 j 为 1 的时候呢？

显然，j 指针一定是后移到 0 位置的。因为它前面也就只有这一个位置了~~~

下面这个是最重要的，请看如下图：

请仔细对比这两个图。

我们发现一个规律：

当P[k] == P[j]时，有next[j+1] == next[j] + 1

其实这个是可以证明的：

因为在P[j]之前已经有P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]。（next[j] == k）这时候现有P[k] == P[j]，我们是不是可以得到P[0 ~ k-1] + P[k] == p[j-k ~ j-1] + P[j]。即：P[0 ~ k] == P[j-k ~ j]，即next[j+1] == k + 1 == next[j] + 1。

这里的公式不是很好懂，还是看图会容易理解些。

那如果 P[k] != P[j]呢？比如下图所示：

像这种情况，如果你从代码上看应该是这一句：k = next[k];为什么是这样子？你看下面应该就明白了。

现在你应该知道为什么要 k = next[k]了吧！像上边的例子，我们已经不可能找到[ A，B，A，B ]这个最长的后缀串了，但我们还是可能找到[ A，B ]、[ B ]这样的前缀串的。所以这个过程像不像在定位[ A，B，A，C ]这个串，当 C 和主串不一样了（也就是 k 位置不一样了），那当然是把指针移动到 next[k]啦。

有了 next 数组之后就一切好办了，我们可以动手写 KMP 算法了：

public static int KMP(String ts, String ps) {
    char[] t = ts.toCharArray();
    char[] p = ps.toCharArray();
    int i = 0; // 主串的位置
    int j = 0; // 模式串的位置
    int[] next = getNext(ps);
    while (i < t.length && j < p.length) {
       if (j == -1 || t[i] == p[j]) { // 当j为-1时，要移动的是i，当然j也要归0
           i++;
           j++;
       } else {
           // i不需要回溯了
           // i = i - j + 1;
           j = next[j]; // j回到指定位置
       }
    }
    if (j == p.length) {
       return i - j;
    } else {
       return -1;
    }
}

和暴力破解相比，就改动了 4 个地方。其中最主要的一点就是，i 不需要回溯了。

最后，来看一下上边的算法存在的缺陷。来看第一个例子：

显然，当我们上边的算法得到的 next 数组应该是[ -1，0，0，1 ]

所以下一步我们应该是把 j 移动到第 1 个元素咯：

不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的 B 已经不匹配了，那前面的 B 也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第 2 个元素 A 上。

显然，发生问题的原因在于 P[j] == P[next[j]]。

所以我们也只需要添加一个判断条件即可：

public static int[] getNext(String ps) {    char[] p = ps.toCharArray();
    int[] next = new int[p.length];
    next[0] = -1;
    int j = 0;
    int k = -1;
    while (j < p.length - 1) {
       if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
           if (p[++j] == p[++k]) { // 当两个字符相等时要跳过
              next[j] = next[k];
           } else {
              next[j] = k;
           }
       } else {
           k = next[k];
       }
    }
    return next;
}