【回溯算法】借助最后一道「组合总和」问题来总结一下回溯算法 ...

题目描述

这是 LeetCode 上的 216. 组合总和 III，难度为 Medium。

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。

说明：

• 所有数字都是正整数。

• 解集不能包含重复的组合。 

示例 1:

输入: k = 3, n = 7输出: [[1,2,4]]

示例 2:

输入: k = 3, n = 9输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

DFS + 回溯解法

关于组合总和的问题，之前我们已经完成过 39. 组合总和 和 [40. 组合总和 II](https://mp.weixin.qq.com/s/7s_LkuyCQHGEA8SKJOL-WA) 两道题了。

只不过前面两道题是直接给了我们一个数组，让我们从数组中进行选择。

本题则是直接限定了数字范围在 1-9 之间。

三道题都是可以使用相同的思路进行求解。

我们再来强化一下应该如何快速判断一道题是否应该使用 DFS + 回溯算法来爆搜。

总的来说，你可以从两个方面来考虑：

1. 求的是所有的方案，而不是方案数。* 由于求的是所有方案，不可能有什么特别的优化，我们只能进行枚举。这时候可能的解法有动态规划、记忆化搜索、DFS + 回溯算法。

2. 通常数据范围不会太大，只有几十。* 如果是动态规划或是记忆化搜索的题的话，由于它们的特点在于低重复/不重复枚举，所以一般数据范围可以出到 $10^5$ 到 $10^7$，而 DFS + 回溯的话，通常会限制在 30 以内。

这道题数据范围是 30 以内，而且是求所有方案。因此我们使用 DFS + 回溯来求解：

class Solution {    int n, k;    public List<List<Integer>> combinationSum3(int _k, int _n) {        n = _n;        k = _k;
        List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();        List<Integer> cur = new ArrayList<>();        dfs(1, ans, cur, 0);        return ans;    }    /**     * u: 当前遍历到的数字     * ans: 最终结果集     * cur: 当前结果集     * sum: 当前结果集的总和     */    void dfs(int u, List<List<Integer>> ans, List<Integer> cur, int sum) {        if (sum == n && cur.size() == k) {            ans.add(new ArrayList<>(cur));            return;        }        if (u == 10 || sum > n || cur.size() > k) return;        // 使用数字 u        cur.add(u);        dfs(u + 1, ans, cur, sum + u);        // 进行回溯        cur.remove(cur.size() - 1);        // 不使用数字 u        dfs(u + 1, ans, cur, sum);    }}

• 时间复杂度： DFS 回溯算法通常是指数级别的复杂度（因此数据范围通常为 30 以内）。这里暂定 $O(n * 2^n)$

• 空间复杂度：同上。复杂度为 $O(n * 2^n)$

总结

一连三天，我们做了三道关于组合总和的题目。

但其实并无本质区别，都是在考察「回溯算法」的基本使用。

对于此类要枚举所有方案的题目，我们都应该先想到「回溯算法」。

「回溯算法」从算法定义上来说，不一定要用 DFS 实现，但通常结合 DFS 来做，难度是最低的。

「回溯算法」根据当前决策有多少种选择，对应了两套模板。

1. 每一次独立的决策只对应 选择 和 不选 两种情况：

• 确定结束回溯过程的 base case

• 遍历每个位置，对每个位置进行决策（做选择 -> 递归 -> 撤销选择）

void dfs(当前位置, 路径(当前结果), 结果集) {    if (当前位置 == 结束位置) {        结果集.add(路径);        return;    }            选择当前位置;        dfs(下一位置, 路径(当前结果), 结果集);    撤销选择当前位置;    dfs(下一位置, 路径(当前结果), 结果集);}

对应到这类模板的题目有：40. 组合总和 II ...

1. 每一次独立的决策都对应了多种选择（通常对应了每次决策能选择什么，或者每次决策能选择多少个 ...）:

• 确定结束回溯过程的 base case

• 遍历所有的「选择」

• 对选择进行决策 (做选择 -> 递归 -> 撤销选择)

void dfs(选择列表, 路径(当前结果), 结果集) {    if (满足结束条件) {        结果集.add(路径);        return;    }            for (选择 in 选择列表) {        做选择;        dfs(路径’, 选择列表, 结果集);        撤销选择;    }}

对应到这类模板的题目有：17. 电话号码的数字组合、[39. 组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/5Ee6jbc3lDlWFEDzTM_LkA) ...

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.216 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。