信息的表示与存储 - 整数的表示

整数的表示

在数学中可以表示的数字是没有极限的，但是在计算机中如果使用特定的整数数据类型来表示数字，那么是有范围的。计算机对数字的表示分为两块：整数与浮点数，接下来我们先介绍整数，下表列出32位C语言程序中典型整数类型的存储大小和值范围的细节：

类型存储大小值范围char1 字节-128 ～ 127unsigned char1 字节0 ～ 255short2 字节-32768 ～ 32767unsigned short2 字节0 ～ 65535int4 字节-2147483648 ～ 2147483647unsigned int4 字节0 ～ 4294967295long4 字节-2147483648 ～ 2147483647unsigned long4 字节0 ～ 4294967295

不同的整数类型，存储长度有区别，表示的值范围也不同，有的能够表示负数（“有符号”），有的不能（“无符号”）。

无符号整数

对于一个w位的无符号整数，用二进制比特位可以表示为[xw-1, xw-2, … , x2, x1, x0]，如果我们用函数(Binary to Unsigned的缩写，w表示二进制比特的位数）来表示比特位到非负数的映射，那么可以得到：



无符号整数的最大值UMax _w =2^w-1，所以unsigned char的最大值是

有符号整数

有符号整数有几种表示方式，比如原码、反码、补码，其最高位为都是符号位(0 + ， 1 -)，其他位为数据位。

当值为正数时，原码、反码、补码符号位都是0，其所有的编码方式和原码相同，

当值为负数时，原码、反码、补码符号位都是1，但是其他二进制位表示不一致。

1. 反码表示为所有数据位取反表示(符号位不变)

2. 其补码表示为所有数据位取反加1（符号位不变）

比如：$-7_{10}=10000111_{原}$，$-7_{10}=11111000_{反}$,$-7_{10}=11111001_{补}$

一般在计算机内部，有符号整数用补码（two’s complement）表示，对于一个w位的整数，用二进制比特位可以表示为[xw-1, xw-2, … , x2, x1, x0]，如果我们用函数(Binary to two’s complement的缩写，w表示二进制比特的位数）来表示比特位到整数的映射，那么可以得到：



补码可表示的数据范围是：[100…000]~[011…1111]，由该公式可以得出$TMa{x}_w=2^{w-1}-1$，$TMi{n}_w=-2^w$

为什么要用补码表示负数

这主要是因为，计算机实现加法运算是很容易的，若直接作减法则比较复杂，需要处理借位等等，内部逻辑组件会增多，所以如果将减法转换为加法则实现会容易，比如7-3=7+(-3)=4，用8位来表示二进制。

• 如果直接使用原码表示负数，则7+(-3)可表示为：

结果是 -10 ，这显然不符合我们的预期。

• 如果使用反码表示，则7+(-3)可表示为：

相加丢弃进位，结果是 2，这显然不符合我们的预期。



• 如果使用补码表示负数，则7+(-3)可表示为：

相加丢弃进位，结果是 4，正好符合预期。



用原码和反码表示负数，还有一个问题，+0、-0问题，按照原码的概念来算，原码0000 0000的表示+0 ，原码 1000 0000表示 -0 ，如果遇到0的计算，是应该用 +0 还是用 -0 计算呢，这就会产生分歧，并且因为+0、-0,原码和反码只能表示-127～127。

如果用补码就没有+0、-0问题，在补码10000000表示-128，所以补码的表示范围是-128～127。