二分查找以及变体
一、什么是二分查找?
二分查找针对的是一个有序的数据集合,每次通过跟区间中间的元素对比,将待查找的区间缩小为之前的一半,直到找到要查找的元素,或者区间缩小为 0。
二、时间复杂度分析?
时间复杂度
假设数据大小是 n,每次查找后数据都会缩小为原来的一半,最坏的情况下,直到查找区间被缩小为空,才停止。所以,每次查找的数据大小是:n,n/2,n/4,…,n/(2^k),…
,这是一个等比数列。当n/(2^k)=1
时,k 的值就是总共缩小的次数,也是查找的总次数。而每次缩小操作只涉及两个数据的大小比较,所以,经过 k 次区间缩小操作,时间复杂度就是O(k)
。通过n/(2^k)=1
,可求得k=log2n
,所以时间复杂度是O(logn)
。
认识
O(logn)
1. 这是一种极其高效的时间复杂度,有时甚至比 O(1)的算法还要高效。为什么?
2. 因为 logn 是一个非常“恐怖“的数量级,即便 n 非常大,对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方,也就是 42 亿,而 logn 才 32。
3. 由此可见,O(logn)有时就是比 O(1000),O(10000)快很多。
三、如何实现二分查找?
循环实现
代码实现:
注意事项:
循环退出条件是:low<=high,而不是 low<high。
mid 的取值,使用 mid=low + (high - low) / 2,而不用 mid=(low + high)/2,因为如果 low 和 high 比较大的话,求和可能会发生 int 类型的值超出最大范围。为了把性能优化到极致,可以将除以 2 转换成位运算,即 low + ((high - low) >> 1),因为相比除法运算来说,计算机处理位运算要快得多。
low 和 end 的更新:low = mid - 1,high = mid + 1,若直接写成 low = mid,high=mid,就可能会发生死循环。
递归实现
四、使用条件(应用场景的局限性)
二分查找依赖的是顺序表结构,即数组。
二分查找针对的是有序数据,因此只能用在插入、删除操作不频繁,一次排序多次查找的场景中。
数据量太小不适合二分查找,与直接遍历相比效率提升不明显。但有一个例外,就是数据之间的比较操作非常费时,比如数组中存储的都是长度超过 300 的字符串,那这是还是尽量减少比较操作使用二分查找吧。
数据量太大也不是适合用二分查找,因为数组需要连续的空间,若数据量太大,往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。
五、递归变体
1.查找第一个值等于给定值的元素
2.查找最后一个值等于给定值的元素
3.查找第一个大于等于给定值的元素
4.查找最后一个小于等于给定值的元素
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