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二分查找以及变体

发布于: 2021 年 03 月 11 日
二分查找以及变体

一、什么是二分查找?

二分查找针对的是一个有序的数据集合,每次通过跟区间中间的元素对比,将待查找的区间缩小为之前的一半,直到找到要查找的元素,或者区间缩小为 0。

二、时间复杂度分析?

  1. 时间复杂度

假设数据大小是 n,每次查找后数据都会缩小为原来的一半,最坏的情况下,直到查找区间被缩小为空,才停止。所以,每次查找的数据大小是:n,n/2,n/4,…,n/(2^k),…,这是一个等比数列。当n/(2^k)=1时,k 的值就是总共缩小的次数,也是查找的总次数。而每次缩小操作只涉及两个数据的大小比较,所以,经过 k 次区间缩小操作,时间复杂度就是O(k)。通过n/(2^k)=1,可求得k=log2n,所以时间复杂度是O(logn)

  1. 认识O(logn)

1. 这是一种极其高效的时间复杂度,有时甚至比 O(1)的算法还要高效。为什么?

2. 因为 logn 是一个非常“恐怖“的数量级,即便 n 非常大,对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方,也就是 42 亿,而 logn 才 32。

3. 由此可见,O(logn)有时就是比 O(1000),O(10000)快很多。

三、如何实现二分查找?

循环实现

代码实现:


    // 循环实现二分查找    public function bsearchLoop(array $array, int $n, $value)    {        $low = 0;        $high = $n - 1;        while ($low <= $low) {            $mid = $low + (($high - $low) >> 1);            if ($array[$mid] > $value) {                $high = $mid - 1;            } elseif ($array[$mid] < $value) {                $low = $mid + 1;            } else {                return $mid;            }        }        return -1;    }
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注意事项:

  1. 循环退出条件是:low<=high,而不是 low<high。

  2. mid 的取值,使用 mid=low + (high - low) / 2,而不用 mid=(low + high)/2,因为如果 low 和 high 比较大的话,求和可能会发生 int 类型的值超出最大范围。为了把性能优化到极致,可以将除以 2 转换成位运算,即 low + ((high - low) >> 1),因为相比除法运算来说,计算机处理位运算要快得多。

  3. low 和 end 的更新:low = mid - 1,high = mid + 1,若直接写成 low = mid,high=mid,就可能会发生死循环。

递归实现


    // 递归实现二分查找    public function bsearchRecursion(array $array, int $n, $value)    {        return $this->bSear($array, $value, 0, $n - 1);    }
private function bSear(array $array, $value, int $low, int $high) { if ($low > $high) { return -1; } $mid = $low + (($high - $low) >> 2); if ($array[$mid] == $value) { return $mid; } elseif ($array[$mid] > $value) { $high = $mid - 1; } else { $low = $mid + 1; } return $this->bSear($array, $value, $low, $high); }
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四、使用条件(应用场景的局限性)

  1. 二分查找依赖的是顺序表结构,即数组。

  2. 二分查找针对的是有序数据,因此只能用在插入、删除操作不频繁,一次排序多次查找的场景中。

  3. 数据量太小不适合二分查找,与直接遍历相比效率提升不明显。但有一个例外,就是数据之间的比较操作非常费时,比如数组中存储的都是长度超过 300 的字符串,那这是还是尽量减少比较操作使用二分查找吧。

  4. 数据量太大也不是适合用二分查找,因为数组需要连续的空间,若数据量太大,往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。


五、递归变体

1.查找第一个值等于给定值的元素


    // 变体1. 查找第一个值等于给定值的元素    public function bsearch1($array, int $n, $value)    {        $low = 0;        $high = $n - 1;        while ($low <= $high) {            $mid = $low + (($high - $low) >> 1);            if ($array[$mid] > $value) {                $high = $mid - 1;            } elseif ($array[$mid] < $value) {                $low = $mid + 1;            } else {                if ($mid == 0 || $array[$mid - 1] != $value) {                    return $mid;                } else {                    $high = $mid - 1;                }            }        }        return -1;    }
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2.查找最后一个值等于给定值的元素


    // 变体2. 查找最后一个值等于给定值的元素    public function bsearch2(array $array, int $n, $value)    {        $low = 0;        $high = $n - 1;        while ($low <= $high) {            $mid = $low + (($high - $low) >> 1);            if ($array[$mid] > $value) {                $high = $mid - 1;            } elseif ($array[$mid] < $value) {                $low = $mid + 1;            } else {                if ($mid == $n - 1 || $array[$mid + 1] != $value) {                    return $mid;                } else {                    $low = $mid + 1;                }            }        }        return -1;    }
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3.查找第一个大于等于给定值的元素


    // 变体3. 查找第一个大于等于给定值的元素    public function bsearch3(array $array, int $n, $value)    {        $low = 0;        $high = $n - 1;        while ($low <= $high) {            $mid = $low + (($high - $low) >> 1);            if ($array[$mid] >= $value) {                if ($mid == 0 || $array[$mid - 1] < $value) {                    return $mid;                } else {                    $high = $mid - 1;                }            } else {                $low = $mid + 1;            }        }        return -1;    }
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4.查找最后一个小于等于给定值的元素


    // 变体4. 查找最后一个小于等于给定值的元素    public function bsearch4(array $array, int $n, $value)    {        $low = 0;        $high = $n - 1;        while ($low <= $high) {            $mid = $low + (($high - $low) >> 1);            if ($array[$mid] > $value) {                $high = $mid - 1;            } else {                if ($mid == $n - 1 || $array[$mid + 1] > $value) {                    return $mid;                } else {                    $low = $mid + 1;                }            }        }        return -1;    }
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多读书多看报,少吃零食多睡觉 2018.08.07 加入

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